Contoh ini memotivasi teknik yang biasanya digunakan komputer untuk melakukan eliminasi Gauss. Kita hanya perlu melakukan pertukaran baris ketika terdapat nol pada posisi pivot, seperti
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{rrrr}
1 \amp -1 \amp 2 \amp 2 \\
0 \amp 0 \amp -3 \amp 1 \\
0 \amp 2 \amp 2 \amp -3 \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Namun, kita akan melakukan pertukaran baris untuk menempatkan entri dengan nilai absolut terbesar yang mungkin pada posisi pivot. Misalnya, ketika melakukan eliminasi Gauss pada matriks berikut, kita mulai dengan mempertukarkan baris pertama dan ketiga agar entri kiri atas memiliki nilai absolut terbesar yang mungkin.
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{rrrr}
2 \amp 1 \amp 2 \amp 3 \\
1 \amp -3 \amp -2 \amp 1 \\
-3 \amp 2 \amp 3 \amp -2 \\
\end{array}\right]
\sim
\left[\begin{array}{rrrr}
-3 \amp 2 \amp 3 \amp -2 \\
1 \amp -3 \amp -2 \amp 1 \\
2 \amp 1 \amp 2 \amp 3 \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Teknik ini disebut pivot parsial. Artinya, dalam praktiknya kita akan melakukan jauh lebih banyak operasi pertukaran baris daripada yang biasanya dilakukan ketika menghitung secara eksak dengan tangan.