Contoh 5.2.2.
Sekarang, mari kita perhatikan matriks \(A = \left[\begin{array}{rr}
2 \amp 1 \\ 1 \amp 2 \\ \end{array}\right] \text{,}\) yang memiliki yang memiliki nilai-nilai eigen \(\lambda_1=3\) dan \(\lambda_2 = 1\text{.}\) Nilai eigen dominannya adalah \(\lambda_1=3\text{,}\) sedangkan vektor-vektor eigen terkait adalah \(\vvec_1 = \twovec{1}{1}\) dan \(\vvec_{2} = \twovec{-1}{1}\text{.}\) Sekali lagi, mulailah dengan vektor \(\xvec_0 = \twovec{1}{0}=\frac12 \vvec_1 -
\frac12 \vvec_2\text{,}\) sehingga
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\xvec_1 \amp {}={} A\xvec_0 = 3\frac12 \vvec_1 - \frac12
\vvec_2 \\
\xvec_2 \amp {}={} A^2\xvec_0 = 3^2\frac12 \vvec_1 - \frac12
\vvec_2 \\
\xvec_3 \amp {}={} A^3\xvec_0 = 3^3\frac12 \vvec_1 - \frac12
\vvec_2 \\
\amp \vdots \\
\xvec_k \amp {}={} A^k\xvec_0 = 3^k\frac12 \vvec_1 - \frac12
\vvec_2\text{.} \\
\end{aligned}
\end{equation*}
Seperti yang ditunjukkan gambar, vektor-vektor \(\xvec_k\) diregangkan dengan faktor \(3\) pada arah \(\vvec_1\) dan tidak diregangkan sama sekali pada arah \(\vvec_2\text{.}\) Akibatnya, vektor-vektor \(\xvec_k\) menjadi makin panjang, tetapi arahnya makin mendekati arah vektor eigen \(\vvec_1=\twovec{1}{1}\) yang terkait dengan nilai eigen dominan.
Terdapat kisi koordinat baku \(1\times1\) beserta sepasang sumbu koordinat. Jendela tampilan membentang secara horizontal dan vertikal dari \(-1\) hingga \(8\text{.}\) Ditampilkan vektor \(\xvec_0=\twovec10\text{,}\) \(\xvec_1=\twovec21\text{,}\) \(\xvec_2=\twovec54\text{,}\) dan \(\xvec_3=\twovec{14}{13}\text{.}\) Vektor terakhir \(\xvec_3\) hampir searah dengan vektor eigen \(\vvec_1=\twovec11\) dan memanjang keluar dari sisi kanan diagram, yang menunjukkan bahwa panjangnya besar.
Kontrol papan ketik untuk menjelajahi diagram
Untuk mencari vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen dominan, kita mencegah panjang vektor-vektor \(\xvec_k\) bertambah tanpa batas dengan mengalikannya dengan konstanta penskalaan yang sesuai. Berikut salah satu caranya. Untuk vektor \(\xvec_k\text{,}\) kita tentukan komponen yang memiliki nilai absolut terbesar dan menyebutnya \(m_k\text{.}\) Selanjutnya, kita definisikan \(\overline{\xvec}_k = \frac{1}{m_k} \xvec_k\text{,}\) sehingga komponen \(\overline{\xvec}_k\) yang memiliki nilai absolut terbesar adalah \(1\text{.}\)
Sebagai contoh, jika kita mulai dengan \(\xvec_0 = \twovec{1}{0}\text{,}\) kita memperoleh \(\xvec_1 = A\xvec_{0} =
\twovec{2}{1}\text{.}\) Komponen \(\xvec_1\) yang memiliki nilai absolut terbesar adalah \(m_1=2\text{,}\) sehingga kita mengalikannya dengan \(\frac{1}{m_1} = \frac12\) untuk memperoleh \(\overline{\xvec}_1 = \twovec{1}{\frac12}\text{.}\) Selanjutnya, \(\xvec_2 = A\overline{\xvec}_1 =
\twovec{\frac52}{2}\text{.}\) Sekarang komponen dengan nilai absolut terbesar adalah \(m_2=\frac52\text{,}\) sehingga kita mengalikannya dengan \(\frac25\) untuk memperoleh \(\overline{\xvec}_2 = \twovec{1}{\frac45}\text{.}\)
Barisan vektor \(\overline{\xvec}_k\) yang dihasilkan ditampilkan pada gambar. Perhatikan bagaimana vektor-vektor \(\overline{\xvec}_k\) kini mendekati vektor eigen \(\vvec_1\text{,}\) yang memberi kita cara untuk mencari vektor eigen \(\vvec=\twovec{1}{1}\text{.}\) Inilah metode pangkat untuk mencari vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen dominan suatu matriks.
Terdapat kisi koordinat dan sepasang sumbu koordinat, beserta persegi yang titik-titik sudutnya adalah \((1,1)\text{,}\) \((-1,1)\text{,}\) \((-1,-1)\text{,}\) dan \((1,-1)\text{.}\) Vektor \(\xvec_0=\twovec10\) ditampilkan dengan ujungnya terletak pada persegi. Selanjutnya, \(\overline{\xvec}_1=\twovec{1}{1/2}\) dan \(\overline{\xvec}_2=\twovec{1}{4/5}\) ditampilkan dengan ujung masing-masing pada persegi. Vektor \(\overline{\xvec}_3\) juga ditampilkan untuk menunjukkan bahwa vektor-vektor ini mendekati vektor eigen \(\vvec_1=\twovec11\text{.}\)