Bab 4 menunjukkan beberapa kegunaan penting teori nilai eigen dan vektor eigen. Sebagai contoh, pengetahuan tentang nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks \(A\) memungkinkan kita membuat prediksi mengenai perilaku jangka panjang sistem dinamis ketika suatu keadaan awal \(\xvec_0\) berkembang menurut aturan \(\xvec_{k+1} = A\xvec_k\text{.}\)
Namun, teori ini tidak dapat diterapkan pada setiap persoalan yang kita jumpai. Pertama, vektor eigen hanya ada ketika matriks \(A\) berbentuk persegi, sedangkan kita telah melihat keadaan, seperti persoalan kuadrat terkecil dalam Subbab 6.5, ketika matriks yang kita tinjau tidak berbentuk persegi. Kedua, bahkan ketika \(A\) berbentuk persegi, belum tentu terdapat basis untuk \(\real^m\) yang terdiri atas vektor-vektor eigen \(A\text{,}\) padahal syarat penting ini diperlukan dalam sebagian pembahasan kita.
Bab ini memperkenalkan dekomposisi nilai singular; nilai singular dan vektor singularnya dapat dipandang sebagai perumuman nilai eigen dan vektor eigen. Kita akan melihat bahwa setiap matriks, baik berbentuk persegi maupun tidak, memiliki dekomposisi nilai singular dan bahwa pengetahuan tentang dekomposisi tersebut memberi kita banyak wawasan mengenai matriks itu. Dekomposisi nilai singular sering diibaratkan sebagai penglihatan sinar-X terhadap matriks karena dekomposisi tersebut menyingkap ciri-ciri esensial matriks.
