Referensi Sage

Lampiran A Referensi Sage

Kita telah memperkenalkan sejumlah perintah Sage di seluruh buku. Perintah-perintah yang paling penting dirangkum di sini dalam satu tempat.

🔗

Mengakses Sage 🔗

Selain sel-sel Sage yang disertakan di seluruh buku, terdapat beberapa cara untuk mengakses Sage.

Terdapat sel Sage yang dapat digunakan secara gratis di sagecell.sagemath.org.
🔗

🔗
Anda dapat menyimpan pekerjaan Sage dengan membuat akun di cocalc.com dan bekerja dalam lembar kerja Sage.
🔗

🔗
Terdapat halaman berisi sel-sel Sage di gvsu.edu/s/0Ng. Hasil yang diperoleh dengan menjalankan satu sel tersedia bagi sel-sel lain pada halaman tersebut. Namun, seluruh pekerjaan akan hilang ketika halaman dimuat ulang.
🔗

🔗

🔗

Membuat matriks 🔗

Terdapat beberapa cara untuk membuat matriks. Sebagai contoh, matriks

\begin{equation*} \begin{bmatrix} -2 \amp 3 \amp 0 \amp 4 \\ 1 \amp -2 \amp 1 \amp -3 \\ 0 \amp 2 \amp 3 \amp 0 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}

dapat dibuat dengan salah satu dari dua cara berikut.

matrix(3, 4, [-2, 3, 0, 4,
               1,-2, 1,-3,
	       0, 2, 3, 0])

🔗

matrix([ [-2, 3, 0, 4],
         [ 1,-2, 1,-3],
	 [ 0, 2, 3, 0] ])

🔗

Perhatikan bahwa Sage dapat memperlakukan matriks yang ekuivalen secara matematis dengan cara berbeda, bergantung pada cara matriks dimasukkan. Sebagai contoh, matriks

matrix([ [1, 2],
         [2, 1] ])

memiliki entri bilangan bulat, sedangkan

matrix([ [1.0, 2.0],
         [2.0, 1.0] ])

memiliki entri bilangan titik mengambang.

🔗

Jika entri hendak diperlakukan sebagai bilangan titik mengambang, sertakan RDF dalam definisi matriks.

matrix(RDF, [ [1, 2],
              [2, 1] ])

🔗

Matriks khusus 🔗

Matriks identitas \(4\times 4\) dapat dibuat dengan

identity_matrix(4)

Matriks diagonal dapat dibuat dari daftar entri diagonalnya. Sebagai contoh,

diagonal_matrix([3,-4,2])

🔗

Bentuk eselon baris tereduksi 🔗

Bentuk eselon baris tereduksi suatu matriks dapat diperoleh dengan fungsi rref(). Sebagai contoh,

A = matrix([ [1,2], [2,1] ])
A.rref()

🔗

Vektor 🔗

Vektor didefinisikan dengan menuliskan komponen-komponennya.

v = vector([3,-1,2])

🔗

Penjumlahan 🔗

Operator + melakukan penjumlahan vektor dan matriks.

v = vector([2,1])
w = vector([-3,2])
print(v+w)

A = matrix([[2,-3],[1,2]])
B = matrix([[-4,1],[3,-1]])
print(A+B)

🔗

Perkalian 🔗

Operator * melakukan perkalian skalar pada vektor dan matriks.

v = vector([2,1])
print(3*v)
A = matrix([[2,1],[-3,2]])	    
print(3*A)

🔗

Operator * juga digunakan untuk perkalian matriks-vektor dan matriks-matriks.

A = matrix([[2,-3],[1,2]])
v = vector([2,1])	    
print(A*v)
B = matrix([[-4,1],[3,-1]])
print(A*B)

🔗

Operasi pada vektor 🔗

Panjang vektor v diperoleh dengan v.norm().
🔗

🔗
Hasil kali titik dua vektor v dan w adalah v*w.
🔗

🔗

🔗

Operasi pada matriks 🔗

Transpos matriks A diperoleh dengan A.transpose() atau A.T.
🔗

🔗
Invers matriks A diperoleh dengan A.inverse() atau A^-1.
🔗

🔗
Determinan A adalah A.det().
🔗

🔗
Basis untuk ruang nol \(\nul(A)\) diperoleh dengan A.right_kernel().
🔗

🔗
Ambil sebuah kolom A, misalnya dengan A.column(0), yang mengembalikan vektor berupa kolom pertama A.
🔗

🔗
Perintah A.matrix_from_columns([0,1,2]) mengembalikan matriks yang dibentuk oleh tiga kolom pertama A.
🔗

🔗

🔗

Vektor eigen dan nilai eigen 🔗

Nilai-nilai eigen matriks A dapat diperoleh dengan A.eigenvalues(). Banyaknya kemunculan suatu nilai eigen dalam daftar sama dengan multiplisitasnya.
🔗

🔗
Vektor-vektor eigen matriks yang memiliki entri rasional dapat diperoleh dengan A.eigenvectors_right().
🔗

🔗
Jika \(A\) dapat didiagonalisasi sebagai \(A=PDP^{-1}\text{,}\) maka
```
D, P = A.right_eigenmatrix()
		
```
menghasilkan matriks D dan P.

🔗
🔗
Polinomial karakteristik A adalah A.charpoly('x') dan bentuk terfaktornya adalah A.fcp('x').
🔗

🔗

🔗

Faktorisasi matriks 🔗

Faktorisasi \(LU\) suatu matriks
```
P, L, U = A.LU()	    
		
```
menghasilkan matriks-matriks yang memenuhi \(PA = LU\text{.}\)

🔗
🔗
Dekomposisi nilai singular diperoleh dengan
```
U, Sigma, V = A.SVD()	    
		
```
Perhatikan bahwa matriks harus didefinisikan menggunakan RDF. Sebagai contoh, A = matrix(RDF, 3,2,[1,0,-1,1,1,1]).

🔗
🔗
Faktorisasi \(QR\) dari A adalah A.QR(), asalkan A didefinisikan menggunakan RDF.
🔗

🔗

🔗

Sblm Top Lnjt