Subbagian Menjumlahkan Barisan Aritmetika: Balikkan dan Jumlahkan
Mari kita cari dengan cermat jumlah \(n\) bilangan bulat positif pertama. Namakan jumlah tersebut \(T_n\text{,}\) lalu tuliskan dua kali: sekali dalam urutan biasa dan sekali dalam urutan terbalik.
\begin{equation*}
\begin{array}{lccccccccc} & T_n & = & 1 & + & 2 &+ & 3 & + \cdots + & n \\ + & T_n & =& n & + &(n-1)& + & (n-2)& + \cdots + &1 \\\hline & 2T_n & =& n+1 & + & n+1 & + & n+1 &+ \cdots + & n+1 \end{array}
\end{equation*}
Selanjutnya, kita menjumlahkan kedua persamaan tersebut. Ruas kirinya adalah \(2T_n\text{.}\) Pada ruas kanan terjadi sesuatu yang menarik: semua suku dalam penjumlahan itu sama! Jadi, alih-alih menjumlahkan banyak bilangan berbeda, kini kita hanya menjumlahkan bilangan yang sama berulang kali. Perkalian sangat cocok untuk tugas ini! Ada \(n\) suku dalam penjumlahan tersebut, sehingga kita memperoleh
\begin{equation*}
2T_n = n(n+1)\text{.}
\end{equation*}
Dengan menyelesaikan persamaan untuk \(T_n\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*}
T_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{,}
\end{equation*}
seperti yang diharapkan.
Teknik ini berlaku untuk setiap penjumlahan aritmetika.
Contoh 4.3.1.
Hitunglah jumlah
\(2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \cdots + 470\text{.}\)
Penyelesaian.
Gagasannya adalah meniru cara kita menemukan rumus bilangan segitiga. Jika suku pertama dan terakhir dijumlahkan, hasilnya 472. Suku kedua dan suku kedua dari belakang juga berjumlah 472. Agar semua suku mudah dilacak, kita dapat menuliskannya sebagai berikut. Namakan jumlah tersebut
\(S\text{.}\) Maka,
| \(S =\) |
\(2\) |
\(+\) |
\(5\) |
\(+\) |
\(8\) |
\(+ \cdots +\) |
\(467\) |
\(+\) |
470 |
| \(+ \quad S =\) |
\(470\) |
\(+\) |
\(467\) |
\(+\) |
\(464\) |
\(+ \cdots +\) |
\(5\) |
\(+\) |
2 |
| \(2S =\) |
\(472\) |
\(+\) |
\(472\) |
\(+\) |
\(472\) |
\(+ \cdots +\) |
\(472\) |
\(+\) |
\(472\) |
Untuk memperoleh \(2S\text{,}\) kita menjumlahkan 472 dengan dirinya sendiri beberapa kali. Berapa kali? Kita perlu menentukan banyaknya suku (komponen penjumlahan) dalam penjumlahan tersebut. Karena suku-sukunya membentuk barisan aritmetika, suku ke-\(n\) dalam penjumlahan itu (dengan \(2\) dihitung sebagai suku ke-0) dapat dinyatakan sebagai \(2 + 3n\text{.}\) Jika \(2 + 3n = 470\text{,}\) maka \(n = 156\text{.}\) Jadi, \(n\) berkisar dari 0 hingga 156, sehingga ada 157 suku dalam penjumlahan tersebut. Inilah banyaknya kemunculan 472 dalam penjumlahan untuk \(2S\text{.}\) Dengan demikian,
\begin{equation*}
2S = 157\cdot 472 = 74104\text{.}
\end{equation*}
Sekarang \(S\) mudah dihitung:
\begin{equation*}
S = 74104/2 = 37052\text{.}
\end{equation*}
Cara ini berlaku untuk jumlah setiap barisan
aritmetika. Namakan jumlahnya
\(S\text{.}\) Balikkan urutannya dan jumlahkan. Hasilnya berupa satu bilangan yang dijumlahkan dengan dirinya sendiri berulang kali. Tentukan berapa kali bilangan itu muncul. Kalikan. Bagi dengan 2. Selesai.
Contoh 4.3.2.
Temukan rumus tertutup untuk
\(6 + 10 + 14 + \cdots + (4n - 2)\text{.}\)
Penyelesaian.
Sekali lagi, kita memiliki jumlah suatu barisan aritmetika. Ada berapa suku dalam barisan tersebut? Jelas bahwa setiap sukunya berbentuk
\(4k -2\) (sebagaimana ditunjukkan oleh suku terakhir). Namun, nilai
\(k\) apa saja yang digunakan? Untuk memperoleh 6, ambil
\(k = 2\text{.}\) Untuk memperoleh
\(4n-2\text{,}\) ambil
\(k = n\text{.}\) Jadi, untuk menentukan banyaknya suku, kita harus menghitung banyaknya bilangan bulat dalam rentang
\(2,3,\ldots, n\text{.}\) Banyaknya adalah
\(n-1\text{.}\) (Ada
\(n\) bilangan dari 1 sampai
\(n\text{,}\) sehingga jumlahnya berkurang satu jika kita mulai dari 2.)
Sekarang balikkan urutannya dan jumlahkan:
| \(S =\) |
\(6\) |
\(+\) |
\(10\) |
\(+ \cdots +\) |
\(4n-6\) |
\(+\) |
\(4n-2\) |
| \(+ \quad S =\) |
\(4n-2\) |
\(+\) |
\(4n-6\) |
\(+ \cdots +\) |
\(10\) |
\(+\) |
6 |
| \(2S =\) |
\(4n+4\) |
\(+\) |
\(4n+4\) |
\(+ \cdots +\) |
\(4n+4\) |
\(+\) |
\(4n+4\) |
Karena ada \(n-1\) suku, kita memperoleh
\begin{equation*}
2S = (n-1)(4n+4)\qquad \mbox{ sehingga } \qquad S = \frac{(n-1)(4n+4)}{2}\text{.}
\end{equation*}
Selain menghitung jumlah, kita dapat menggunakan teknik ini untuk menemukan rumus tertutup bagi barisan yang kita kenali sebagai barisan jumlah parsial.
Contoh 4.3.3.
Gunakan jumlah parsial untuk menemukan rumus tertutup bagi
\((a_n)_{n\ge 0}\) yang diawali dengan
\(2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots \ldots\text{.}\) Anggap salah satu relasi rekurensi barisan tersebut adalah
\(a_n = a_{n-1} + 3n-2\text{.}\)
Penyelesaian.
Pertama, jika kita memperhatikan selisih antarsuku, kita memperoleh barisan selisih \((d_n)_{n \ge 1}\text{:}\) \(1,4,7,10,13, \ldots\text{,}\) yang merupakan barisan aritmetika. Memang, kita melihat bahwa \(d_n = 3n-2\text{,}\) sesuai dengan relasi rekurensinya. Dengan cara lain, kita dapat menuliskannya sebagai berikut:
\begin{align*}
a_0 \amp = 2\\
a_1 \amp = 2+1 = 2 + d_1\\
a_2 \amp = 2+1+4 = 2 + d_1 + d_2\\
a_3 \amp = 2+1+4+7 = 2 + d_1 + d_2 + d_3
\end{align*}
dan seterusnya. Kita dapat menuliskan suku umum \((a_n)\) berdasarkan barisan aritmetika tersebut sebagai berikut:
\begin{equation*}
a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 + \cdots + 3n-2\text{.}
\end{equation*}
Kita dapat membalikkan urutan dan menjumlahkannya, tetapi angka 2 pada awal barisan tidak mengikuti pola tersebut. Artinya, kita perlu mempertahankan angka 2 di luar bagian yang dibalik:
| \(a_n =\) |
\(2\) |
\(+\) |
\(1\) |
\(+\) |
\(4\) |
\(+ \cdots +\) |
\(3n-2\) |
| \(+ \quad a_n =\) |
\(2\) |
\(+\) |
\(3n-2\) |
\(+\) |
\(3(n-1)-2\) |
\(+ \cdots +\) |
\(1\) |
| \(2a_n =\) |
\(4\) |
\(+\) |
\(2+3n-3\) |
\(+\) |
\(2+3n-3\) |
\(+ \cdots +\) |
\(2+3n-3\) |
Jika suku pertama (yaitu 4) tidak dihitung, terdapat
\(n\) komponen penjumlahan yang masing-masing bernilai
\(2+3n-3 = 3n-1\text{,}\) sehingga ruas kanan menjadi
\(4+(3n-1)n\text{.}\)
Terakhir, dengan menyelesaikan persamaan untuk \(a_n\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*}
a_n = \d \frac{4+(3n-1)n}{2}\text{.}
\end{equation*}
Untuk memastikan hasilnya, kita periksa \(a_0 = \frac{4}{2} = 2\text{,}\) \(a_1 = \frac{4+2}{2} = 3\text{,}\) dan seterusnya. Jadi, rumus tertutup kita benar.
Perhatikan bahwa rumus tertutup bagi barisan yang laju perubahannya aritmetika (yaitu linear) merupakan fungsi kuadrat. Menarik....
Subbagian Polinomial Berderajat Lebih Tinggi
Karena kita mengetahui cara menghitung jumlah
\(n\) suku pertama barisan aritmetika, kita dapat menghitung rumus tertutup bagi barisan yang selisih antarsukunya membentuk barisan aritmetika. Namun, bagaimana jika kita mempertimbangkan barisan yang merupakan jumlah
\(n\) suku pertama dari suatu barisan yang juga merupakan hasil penjumlahan barisan aritmetika?
Ada berapa persegi (dari semua ukuran) pada sebuah papan catur? Papan catur terdiri atas \(64\) persegi, tetapi kita juga ingin memperhitungkan persegi yang panjang sisinya lebih besar. Meskipun kita hanya mempertimbangkan papan berukuran \(8 \times 8\text{,}\) sudah ada banyak objek yang perlu dihitung. Karena itu, mari kita susun sebuah barisan: suku pertamanya adalah jumlah persegi pada papan \(1 \times 1\text{,}\) suku keduanya adalah jumlah persegi pada papan \(2 \times 2\text{,}\) dan seterusnya. Setelah memikirkannya sejenak, kita memperoleh barisan
\begin{equation*}
1,5,14,30, 55,\ldots\text{.}
\end{equation*}
Barisan ini bukan barisan aritmetika (dan juga bukan barisan geometri), tetapi mungkin barisan selisihnya merupakan barisan aritmetika. Selisih-selisihnya adalah
\begin{equation*}
4, 9, 16, 25, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Hal ini tidak terlalu mengejutkan: salah satu cara menghitung jumlah persegi pada papan catur \(4 \times 4\) adalah dengan memperhatikan bahwa terdapat \(16\) persegi bersisi 1, 9 persegi bersisi 2, 4 persegi bersisi 3, dan 1 persegi bersisi 4. Jadi, barisan awal tersebut merupakan barisan jumlah kuadrat. Barisan selisih ini bukan barisan aritmetika karena barisan selisihnya sendiri (yaitu selisih dari selisih barisan awal) tidak konstan. Barisan selisih kedua tersebut adalah
\begin{equation*}
5, 7, 9, \ldots\text{,}
\end{equation*}
yang merupakan barisan aritmetika (dengan selisih konstan 2). Perhatikan bahwa barisan awal kita memiliki selisih ketiga yang konstan (yakni selisih dari selisih dari selisih barisan awal). Kita akan menyebut barisan seperti ini sebagai barisan \(\Delta^3\)-konstan. Barisan \(1, 4, 9, 16, \ldots\) memiliki selisih kedua yang konstan, sehingga merupakan barisan \(\Delta^2\)-konstan. Secara umum, kita menyebut suatu barisan sebagai barisan \(\Delta^k\)-konstan jika selisih ke-\(k\)-nya konstan dan tak nol.
Contoh 4.3.4.
Manakah di antara barisan berikut yang merupakan barisan \(\Delta^k\)-konstan untuk suatu nilai \(k\text{?}\)
-
\(2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots\text{.}\)
-
\(1, 8, 27, 64, 125, 216, \ldots\text{.}\)
-
\(1,2,4,8,16,32,64,\ldots\text{.}\)
Penyelesaian.
-
Ini adalah barisan dari
Contoh 4.3.3; rumus tertutupnya kita temukan dengan mengenali barisan tersebut sebagai barisan jumlah parsial dari suatu barisan aritmetika. Barisan selisih pertamanya adalah
\(1,4,7, 10, 13,\ldots\text{,}\) yang memiliki selisih
\(3,3,3,3,\ldots\text{.}\) Jadi,
\(2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots\) merupakan barisan
\(\Delta^2\)-konstan.
-
Ini adalah barisan bilangan kubik sempurna. Barisan selisih pertamanya adalah \(7, 19, 37, 61, 91, \ldots\text{;}\) barisan selisih keduanya adalah \(12, 18, 24, 30,\ldots\text{;}\) dan barisan selisih ketiganya konstan: \(6,6,6,\ldots\text{.}\) Jadi, bilangan kubik sempurna membentuk barisan \(\Delta^3\)-konstan.
-
Jika kita mengambil selisih pertama, kita memperoleh \(1,2,4,8,16,\ldots\text{.}\) Tunggu, apa yang terjadi? Ini adalah barisan yang sama dengan barisan awal. Jadi, mengambil selisih kedua akan menghasilkan barisan yang sama lagi. Berapa kali pun proses ini diulangi, kita akan selalu memperoleh barisan yang sama. Artinya, tidak ada selisih tingkat berhingga yang akan menjadi konstan. Jadi, barisan ini bukan barisan \(\Delta^k\)-konstan untuk nilai \(k\) mana pun.
Barisan
\(\Delta^0\)-konstan merupakan barisan konstan, sehingga rumus tertutupnya mudah dihitung (rumusnya hanya konstanta tersebut). Barisan
\(\Delta^1\)-konstan merupakan barisan aritmetika, dan kita juga telah memiliki metode untuk menemukan rumus tertutupnya. Setiap barisan
\(\Delta^2\)-konstan merupakan hasil penjumlahan suatu barisan aritmetika, sehingga kita juga dapat menemukan rumusnya. Namun, perhatikan bahwa rumus tertutup suatu barisan
\(\Delta^2\)-konstan selalu berbentuk kuadrat. Sebagai contoh, bilangan kuadrat membentuk barisan
\(\Delta^2\)-konstan dengan rumus tertutup
\(a_n= n^2\text{.}\) Bilangan segitiga (yang juga membentuk barisan
\(\Delta^2\)-konstan) memiliki rumus tertutup
\(a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{,}\) yang setelah dikalikan juga menghasilkan suku
\(n^2\text{.}\) Tampaknya, setiap kali kompleksitas barisan meningkat—yaitu ketika diperlukan lebih banyak tingkat selisih sebelum kita memperoleh konstanta—derajat polinomial dalam rumus tertutupnya juga meningkat. Kita beralih dari konstan ke linear, lalu ke kuadrat. Barisan selisih antarsuku memberi tahu kita sesuatu tentang laju pertumbuhan barisan tersebut. Jika suatu barisan tumbuh dengan laju konstan, rumus barisan itu berbentuk linear. Jika barisan tersebut tumbuh dengan laju yang juga tumbuh dengan laju konstan, rumusnya berbentuk kuadrat. Anda mungkin pernah melihat gagasan ini dalam konteks lain: jika turunan kedua (laju perubahan) suatu fungsi konstan, fungsi tersebut pasti berbentuk kuadrat.
Prinsip ini berlaku secara umum:
Teorema 4.3.5. Pencocokan Polinomial.
Rumus tertutup suatu barisan berupa polinomial berderajat
\(k\) jika dan hanya jika barisan itu
\(\Delta^k\)-konstan (yakni, barisan selisih ke-
\(k\)-nya konstan dan tak nol).
Teorema ini memberi tahu kita bahwa barisan jumlah persegi pada papan catur,
\(1, 5, 14, 30, 55, \ldots\text{,}\) yang telah kita lihat bersifat
\(\Delta^3\)-konstan, memiliki rumus tertutup berupa polinomial kubik (berderajat 3).
Setelah mengetahui bentuk rumus tertutup suatu barisan, kita akan jauh lebih mudah menemukan rumus tersebut. Jika rumus tertutupnya berupa polinomial berderajat
\(k\text{,}\) kita hanya memerlukan
\(k+1\) titik data untuk “mencocokkan” polinomial dengan data tersebut.
Contoh 4.3.6.
Temukan rumus untuk barisan
\(3, 7, 14, 24,\ldots\text{.}\) Anggap
\(a_1 = 3\text{.}\)
Penyelesaian.
Pertama, periksa apakah selisih barisan tersebut konstan pada suatu tingkat. Barisan selisih pertamanya adalah \(4, 7, 10, \ldots\text{,}\) yang merupakan barisan aritmetika, sehingga barisan selisih keduanya konstan. Barisan ini \(\Delta^2\)-konstan, sehingga rumus \(a_n\) berupa polinomial berderajat 2. Artinya, kita mengetahui bahwa untuk suatu konstanta \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\text{,}\)
\begin{equation*}
a_n = an^2 + bn + c\text{.}
\end{equation*}
Sekarang kita perlu menemukan \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\text{.}\) Mula-mula, akan sangat membantu jika kita mengetahui nilai \(a_0\text{,}\) sebab menyubstitusikan \(n = 0\) sangat menyederhanakan rumus di atas. Dalam kasus ini, \(a_0 = 2\) (telusuri mundur dari barisan selisih konstan). Dengan demikian,
\begin{equation*}
a_0 = 2 = a\cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\text{,}
\end{equation*}
sehingga \(c = 2\text{.}\) Sekarang substitusikan \(n =1\) dan \(n = 2\text{.}\) Kita memperoleh
\begin{equation*}
a_1 = 3 = a + b + 2
\end{equation*}
\begin{equation*}
a_2 = 7 = 4a + 2b + 2\text{.}
\end{equation*}
Pada tahap ini, kita memiliki dua persamaan (linear) dan dua peubah yang belum diketahui. Karena itu, kita dapat menyelesaikan sistem untuk
\(a\) dan
\(b\) (dengan substitusi, eliminasi, atau bahkan matriks). Kita memperoleh
\(a = \frac{3}{2}\) dan
\(b = \frac{-1}{2}\text{,}\) sehingga
\(a_n = \frac{3}{2} n^2 - \frac{1}{2}n + 2\text{.}\)
Contoh 4.3.7.
Temukan rumus tertutup untuk jumlah persegi pada papan catur berukuran
\(n \times n\text{.}\)
Penyelesaian.
Kita telah melihat bahwa barisan \(1, 5, 14, 30, 55, \ldots\) bersifat \(\Delta^3\)-konstan, sehingga kita mencari polinomial berderajat 3. Dengan kata lain,
\begin{equation*}
a_n = an^3 + bn^2 + cn + d\text{.}
\end{equation*}
Kita dapat menemukan \(d\) jika mengetahui nilai \(a_0\text{.}\) Dengan menelusuri mundur dari selisih ketiga, kita memperoleh \(a_0 = 0\) (tidak mengherankan karena tidak ada persegi pada papan catur \(0\times 0\)). Jadi, \(d = 0\text{.}\) Sekarang substitusikan \(n = 1\text{,}\) \(n =2\text{,}\) dan \(n =3\text{:}\)
\begin{align*}
1 = \amp a + b + c\\
5 = \amp 8a + 4b + 2c\\
14 = \amp 27a + 9b + 3c\text{.}
\end{align*}
Jika kita menyelesaikan sistem persamaan ini, kita memperoleh
\(a = \frac{1}{3}\text{,}\) \(b = \frac{1}{2}\text{,}\) dan
\(c = \frac{1}{6}\text{.}\) Oleh karena itu, jumlah persegi pada papan catur berukuran
\(n \times n\) adalah
\(a_n = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\text{.}\)
Catatan: Karena masalah persegi pada papan catur sebenarnya meminta jumlah kuadrat, kini kita memiliki rumus yang bagus untuk
\(\d\sum_{k=1}^n k^2\text{.}\)
Contoh 4.3.8.
Temukan rumus tertutup untuk
\((a_n)_{n \ge 0}\) yang diawali dengan
\(2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots\text{.}\) Anggap salah satu relasi rekurensi barisan tersebut adalah
\(a_n = a_{n-1} + 3n-2\)
Penyelesaian.
Perhatikan bahwa kita telah menyelesaikan soal ini dalam
Contoh 4.3.3, tetapi sekarang kita dapat menyelesaikannya dengan pencocokan polinomial.
Barisan selisih (pertama) adalah \(1, 4, 7, 10, 13,\ldots\) (sesuai dengan relasi rekurensi yang diberikan). Barisan selisih keduanya konstan, yaitu \(3, 3, 3, 3, \ldots\text{!}\) Jadi, kita memperkirakan bahwa rumus tertutup \(a_n\) berupa polinomial berderajat 2. Artinya, kita menduga
\begin{equation*}
a_n = an^2 + bn + c\text{.}
\end{equation*}
Karena \(a_0 = 2\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(c = 2\) (sebab \(a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c = 2\)). Kemudian, kita melihat apa yang terjadi untuk \(n = 1\) dan \(n = 2\text{:}\)
\begin{align*}
a_1 = 3 = \amp a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + 2\\
a_2 = 7 = \amp a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + 2\text{.}
\end{align*}
Setelah disederhanakan, kita harus menemukan \(a\) dan \(b\) yang memenuhi persamaan
\begin{align*}
1 =\amp a +b\\
5 = \amp 4a + 2b\text{.}
\end{align*}
Dengan menggunakan sistem aljabar komputer, substitusi, atau eliminasi, kita memperoleh \(a = \frac{3}{2}\) dan \(b = -\frac{1}{2}\text{.}\) Oleh karena itu, rumus tertutupnya adalah
\begin{equation*}
a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 2\text{.}
\end{equation*}
Rumus ini sama dengan rumus yang kita temukan dalam
Contoh 4.3.3 setelah bentuk pada penyelesaian tersebut dikalikan.
Tidak semua barisan memiliki rumus tertutup berbentuk polinomial. Kita dapat menggunakan teori selisih hingga untuk mengenali barisan-barisan tersebut.
Contoh 4.3.9.
Tentukan apakah barisan berikut dapat dinyatakan dengan polinomial, dan jika dapat, tentukan derajatnya.
-
\(\displaystyle 1, 2, 4, 8, 16, \ldots\)
-
\(\displaystyle 0, 7, 50, 183, 484, 1055, \ldots\)
-
\(\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,\ldots\)
Penyelesaian.
-
Seperti yang kita lihat dalam
Contoh 4.3.4, barisan ini tidak bersifat
\(\Delta^k\)-konstan untuk nilai
\(k\) mana pun. Oleh karena itu, rumus tertutup barisan tersebut bukan polinomial. Bahkan, kita mengetahui bahwa rumus tertutupnya adalah
\(a_n = 2^n\text{,}\) yang tumbuh lebih cepat daripada polinomial mana pun (sehingga bukan polinomial).
-
Barisan selisih pertamanya adalah
\(7, 43, 133, 301, 571,\ldots\text{.}\) Selisih keduanya adalah
\(36, 90, 168, 270,\ldots\text{.}\) Selisih ketiganya adalah
\(54, 78, 102,\ldots\text{.}\) Selisih keempatnya adalah
\(24, 24, \ldots\text{.}\) Berdasarkan data yang tersedia, barisan selisih ini konstan. Jadi, barisan awal bersifat
\(\Delta^4\)-konstan dan rumus tertutupnya berupa polinomial berderajat 4.
-
Ini adalah barisan Fibonacci. Barisan selisih pertamanya adalah
\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots\text{,}\) sedangkan selisih keduanya adalah
\(1, 0, 1, 1, 2, 3, 5\ldots\text{.}\) Kita melihat bahwa setelah beberapa suku pertama, barisan awal muncul kembali. Jadi, tidak akan pernah ada tingkat selisih yang konstan; dengan demikian, rumus tertutup barisan Fibonacci bukan polinomial.
Subbagian Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Teknologi
Inti pencocokan polinomial adalah bahwa jika kita dapat memastikan bahwa rumus tertutup suatu barisan berupa polinomial, kita dapat menemukan rumus tersebut. Karena kita mengetahui derajat polinomialnya, kita hanya perlu menemukan koefisien-koefisiennya. Dengan suku barisan yang cukup banyak, kita dapat menyusun sistem persamaan linear dalam jumlah yang memadai, dan penyelesaiannya akan memberikan koefisien-koefisien tersebut. Namun, untuk itu kita harus menyelesaikan suatu sistem persamaan linear.
Untuk polinomial berderajat 2, kita perlu menemukan tiga koefisien (suku konstan, koefisien
\(n\text{,}\) dan koefisien
\(n^2\)). Sistem yang terdiri atas tiga persamaan linear cukup untuk menemukan tiga peubah yang belum diketahui ini. Bahkan, karena
\(a_0\) merupakan suku konstan, sebenarnya kita cukup menggunakan dua persamaan dengan dua peubah yang belum diketahui; sistem seperti ini tidak sulit diselesaikan secara manual.
Untuk polinomial berderajat lebih tinggi, jumlah persamaannya lebih banyak dan penyelesaian secara manual dapat melelahkan. Untungnya, komputer dapat menyelesaikan persamaan-persamaan ini dengan mudah. Di bawah ini kita memperagakan cara menggunakan sistem aljabar komputer gratis SageMath serta Python untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut. Selain kedua pilihan ini, hampir semua sistem aljabar komputer (termasuk Wolfram Alpha) dapat menyelesaikan sistem persamaan semacam ini.
Misalkan kita memiliki sistem yang terdiri atas tiga persamaan dengan tiga peubah yang belum diketahui, seperti pada contoh papan catur di atas:
\begin{align*}
1 = \amp a + b + c\\
5 = \amp 8a + 4b + 2c\\
14 = \amp 27a + 9b + 3c
\end{align*}
Dalam SageMath, kita dapat menggunakan metode solve untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut. Berikut kodenya:
Cara ini lebih mudah daripada menggunakan Python, tetapi Python mungkin lebih mudah tersedia. Salah satu cara menyelesaikan sistem tersebut dalam Python adalah menggunakan pustaka NumPy. Dalam hal ini, Anda membuat matriks koefisien dan vektor konstanta, lalu menggunakan metode solve. Berikut kodenya:
import numpy as np
A = np.array([[1,1,1],[8,4,2],[27,9,3]])
b = np.array([1,5,14])
x = np.linalg.solve(A,b)
print(x)
Berikut penjelasan tentang prosesnya: kita membuat matriks A yang memuat koefisien-koefisien sistem persamaan (bukan koefisien rumus tertutup yang sedang kita cari),
\begin{equation*}
A = \begin{bmatrix} 1 \amp 1 \amp 1 \\ 8 \amp 4 \amp 2 \\ 27 \amp 9 \amp 3 \end{bmatrix}
\end{equation*}
serta vektor b yang memuat konstanta-konstantanya,
\begin{equation*}
b = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 14 \end{bmatrix}\text{.}
\end{equation*}
NumPy kemudian menyelesaikan persamaan matriks
\begin{equation*}
Ax = b\text{.}
\end{equation*}
Vektor \(x\) yang memenuhi persamaan matriks ini berisi nilai peubah-peubah yang belum diketahui dalam sistem tersebut (yakni vektor \([a,b,c]\)).
Tentu saja, setelah menemukan koefisien polinomial, Anda tetap perlu menuliskan rumus tertutup dengan menggunakan koefisien tersebut. Sebaiknya selalu periksa apakah rumus itu benar dengan menggunakan nilai
\(n\) yang tidak Anda gunakan ketika menyusun sistem persamaan.
