Subbagian Barisan Aritmetika
Misalkan Anda memulai usaha yang menjual cetakan karya seni matematika. Pada minggu ke-0, Anda menjual dua cetakan. Pada setiap minggu berikutnya, Anda menjual empat cetakan lebih banyak daripada minggu sebelumnya. Berapa cetakan yang akan Anda jual pada minggu ke-
\(n\text{?}\)
Kita dapat dengan mudah menghitung beberapa suku pertama barisan tersebut: \(2, 6, 10, 14,\ldots\text{.}\) Bagaimana kita mengetahui bahwa hasil ini benar? Dari masalah tersebut, terlihat bahwa untuk berpindah dari satu suku ke suku berikutnya kita harus menambahkan 4. Dengan demikian, relasi rekurensi barisan tersebut jelas merupakan
\begin{equation*}
a_n = a_{n-1} + 4\text{.}
\end{equation*}
Laju pertumbuhan barisan tersebut adalah konstanta \(4\) karena selisih antara dua suku berurutan selalu 4 (perhatikan bahwa relasi rekurensinya dapat ditulis sebagai \(a_n - a_{n-1} = 4\)).
Barisan dengan
laju perubahan tetap disebut
barisan aritmetika.
Sekarang mari tentukan rumus tertutup untuk barisan kita. Suku pertamanya adalah \(a_0 = 2\text{.}\) Untuk memperoleh \(a_1\text{,}\) kita menambahkan \(4\text{.}\) Untuk memperoleh suku berikutnya, kita kembali menambahkan \(4\text{;}\) artinya, kita telah menambahkan \(4\) pada suku awal sebanyak dua kali. Kemudian kita menambahkan \(4\) sekali lagi, sehingga untuk memperoleh \(a_3\) penambahan dilakukan tiga kali. Secara umum, untuk memperoleh \(a_n\text{,}\) kita menambahkan \(4\) pada \(a_0\) sebanyak \(n\) kali. Dengan demikian, rumus tertutup barisan tersebut adalah
\begin{equation*}
a_n = 2 + 4n\text{.}
\end{equation*}
Penalaran ini berlaku untuk setiap barisan aritmetika. Artinya, setiap barisan dengan beda tetap mempunyai rumus tertutup
linear, dengan “kemiringan” fungsi linearnya sama dengan beda tetap.
Barisan Aritmetika.
Jika selisih antara suku-suku berurutan suatu barisan adalah konstan, barisan tersebut disebut
aritmetika. Jika suku awal (
\(a_0\)) barisan adalah
\(a\) dan
beda tetapnya adalah
\(d\text{,}\) maka kita memperoleh
Definisi rekursif:
\(a_n = a_{n-1} + d\) dengan
\(a_0 = a\text{.}\)
Rumus tertutup:
\(a_n = a + dn\text{.}\)
Seperti pada contoh di atas, untuk definisi rekursif kita perlu menentukan \(a_0\text{.}\) Kemudian kita perlu menyatakan \(a_n\) berdasarkan \(a_{n-1}\text{.}\) Jika suku pertama kita sebut \(a\text{,}\) maka \(a_0 = a\text{.}\) Untuk relasi rekurensinya, berdasarkan definisi barisan aritmetika, selisih antara suku-suku berurutan adalah suatu konstanta, misalnya \(d\text{.}\) Jadi, \(a_n - a_{n-1} = d\text{,}\) atau dengan kata lain,
\begin{equation*}
a_0 = a \qquad a_n = a_{n-1} + d\text{.}
\end{equation*}
Sekarang mari kita jelaskan mengapa rumus tertutup tersebut benar. Salah satu caranya adalah menggunakan teknik yang kadang-kadang disebut
metode teleskopik (nama yang sebentar lagi akan menjadi masuk akal).
Kita menuliskan relasi rekurensi dalam bentuk selisih, \(a_n - a_{n-1} = d\text{,}\) untuk semua suku mulai dari \(a_1\) hingga \(a_n\text{.}\) Hasilnya sebagai berikut:
\begin{align*}
a_1 - a_0 = \amp d\\
a_2 - a_1 = \amp d\\
a_3 - a_2 = \amp d\\
\vdots \amp \\
a_{n-1} - a_{n-2} = \amp d\\
a_n - a_{n-1} = \amp d\text{.}
\end{align*}
Sekarang kita jumlahkan seluruh \(n\) persamaan tersebut.
Pada ruas kanan, kita menjumlahkan
\(d\) dengan dirinya sendiri sebanyak
\(n\) kali, sehingga jumlahnya adalah
\(d\cdot n\text{.}\)
Pada ruas kiri, kita memperoleh jumlah:
\begin{equation*}
(a_1 - a_0) + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_{n-1} - a_{n-2}) + (a_n - a_{n-1})\text{.}
\end{equation*}
Namun, perhatikan apa yang terjadi ketika suku-sukunya dikelompokkan kembali dan suku-suku yang sama saling dihapus:
\begin{equation*}
\cancel{a_1} - a_0 + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_3} - \cancel{a_2} + \cdots + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + a_n - \cancel{a_{n-1}} = a_n - a_0\text{.}
\end{equation*}
Jumlah tersebut menciut secara teleskopik menjadi bentuk ringkas yang mudah ditangani.
Dengan menggabungkan kedua ruas, kita memperoleh
\begin{equation*}
a_n - a_0 = d \cdot n\text{,}
\end{equation*}
yang menjadi
\begin{equation*}
a_n = a_0 + d \cdot n
\end{equation*}
seperti yang telah kita nyatakan.
Metode teleskopik di atas berguna dalam konteks lain (lihat
Latihan 6), tetapi setelah memperoleh bentuk umum rumus tertutup, kini kita dapat menerapkannya pada sembarang barisan aritmetika.
Contoh 4.2.1.
Tentukan definisi rekursif dan rumus tertutup untuk barisan-barisan aritmetika berikut. Anggap bahwa suku pertama yang dituliskan adalah
\(a_0\text{.}\)
-
\(2, 5, 8, 11, 14, \ldots\text{.}\)
-
\(50, 43, 36, 29, \ldots\text{.}\)
Penyelesaian.
Pertama, kita harus memeriksa bahwa barisan-barisan ini memang aritmetika dengan menghitung selisih suku-suku berurutan. Dengan demikian, kita akan menemukan beda tetap
\(d\text{.}\)
-
\(5-2 = 3\text{,}\) \(8-5 = 3\text{,}\) dan seterusnya. Untuk berpindah dari setiap suku ke suku berikutnya, kita menambahkan tiga, sehingga \(d = 3\text{.}\) Jadi, definisi rekursifnya adalah \(a_n = a_{n-1} + 3\) dengan \(a_0 = 2\text{.}\) Rumus tertutupnya adalah \(a_n = 2 + 3n\text{.}\)
-
Di sini beda tetapnya adalah
\(-7\text{,}\) karena kita menambahkan
\(-7\) pada 50 untuk memperoleh 43, dan seterusnya. Jadi, definisi rekursifnya adalah
\(a_n = a_{n-1} - 7\) dengan
\(a_0 = 50\text{.}\) Rumus tertutupnya adalah
\(a_n = 50 - 7n\text{.}\)
Subbagian Barisan Geometri
Bagaimana dengan barisan seperti
\(3, 6, 12, 24, 48, \ldots\text{?}\) Barisan ini bukan aritmetika karena selisih antarsukunya tidak tetap. Namun,
rasio antara suku-suku berurutan tetap:
\(\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = \frac{24}{12} = \cdots = 2\) Barisan seperti ini disebut
geometri.
Setelah mengenali bahwa barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita dapat dengan mudah menuliskan definisi rekursifnya:
\(a_n = 2 a_{n-1}\text{,}\) dengan
\(a_0 = 3\text{.}\)
Rumus tertutupnya juga tidak sulit ditentukan. Sebagai contoh, bagaimana kita memperoleh suku
\(a_3\text{?}\) Kita mulai dengan
\(3\text{,}\) lalu mengalikannya dengan 2 untuk memperoleh
\(a_1\text{,}\) kembali mengalikannya dengan
\(2\) untuk memperoleh
\(a_2\text{,}\) dan mengalikannya dengan
\(2\) untuk ketiga kalinya guna memperoleh
\(a_3\text{.}\) Jadi, kita mengalikan
\(3\) dengan
\(2\) sebanyak tiga kali, atau
\(a_3 = 3\cdot 2^3\text{.}\) Tampaknya
\(a_n = 3\cdot 2^n\text{.}\)
Secara umum, definisi rekursif untuk barisan geometri dengan suku awal \(a\) dan rasio tetap \(r\) adalah
\begin{equation*}
a_n = a_{n-1}\cdot r; a_0 = a\text{.}
\end{equation*}
Untuk memperoleh suku berikutnya, kita mengalikan suku sebelumnya dengan \(r\text{.}\)
Untuk memperoleh rumus tertutup umum, kita dapat mencoba kembali metode teleskopik, meskipun kali ini kita harus menghapus faktor-faktor pecahan. Sebagai gantinya, mari kita ilustrasikan teknik lain untuk menyelesaikan relasi rekurensi yang disebut iterasi. Gagasannya adalah menghitung bertahap hingga \(a_n\) sambil mengamati polanya. Tuliskan
\begin{align*}
a_0 \amp = a\\
a_1 \amp = a_0\cdot r\\
a_2 \amp = a_1 \cdot r = a_0\cdot r\cdot r = a_0\cdot r^2\\
a_3 \amp = a_2 \cdot r = a_0 \cdot r^2 \cdot r = a_0 \cdot r^3\\
\amp \vdots\\
a_n \amp = a_{n-1} \cdot r = a_0 \cdot r^{n-1}\cdot r = a_0 r^n\text{.}
\end{align*}
Kita harus mengalikan suku pertama \(a\) dengan \(r\) beberapa kali, tepatnya \(n\) kali. Kita memperoleh \(a_n = a\cdot r^{n}\text{.}\)
Barisan Geometri.
Suatu barisan disebut
geometri jika rasio antara suku-suku berurutan tetap. Misalkan suku awal
\(a_0\) adalah
\(a\) dan
rasio tetapnya adalah
\(r\text{.}\) Maka kita memperoleh
Definisi rekursif:
\(a_n = ra_{n-1}\) dengan
\(a_0 = a\text{.}\)
Rumus tertutup:
\(a_n = a\cdot r^{n}\text{.}\)
Contoh 4.2.2.
Tentukan rumus rekursif dan rumus tertutup untuk barisan-barisan geometri berikut. Sekali lagi, suku pertama yang dituliskan adalah \(a_0\text{.}\)
-
\(\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48, \ldots\)
-
\(\displaystyle 27, 9, 3, 1, 1/3, \ldots\)
Penyelesaian.
Mulailah dengan memeriksa bahwa barisan-barisan ini benar-benar geometri dengan membagi setiap suku dengan suku sebelumnya. Jika rasio tersebut benar-benar tetap, kita telah menemukan \(r\text{.}\)
-
\(6/3 = 2\text{,}\) \(12/6 = 2\text{,}\) \(24/12 = 2\text{,}\) dan seterusnya. Benar, untuk berpindah dari sembarang suku ke suku berikutnya, kita mengalikannya dengan \(r = 2\text{.}\) Jadi, definisi rekursifnya adalah \(a_n = 2a_{n-1}\) dengan \(a_0 = 3\text{.}\) Rumus tertutupnya adalah \(a_n = 3\cdot 2^{n}\text{.}\)
-
Rasio tetapnya adalah
\(r = 1/3\text{.}\) Jadi, barisan tersebut mempunyai definisi rekursif
\(a_n = \frac{1}{3}a_{n-1}\) dengan
\(a_0 = 27\) dan rumus tertutup
\(a_n = 27\cdot \frac{1}{3}^{n}\text{.}\)
Barisan geometri adalah barisan yang laju pertumbuhannya
sebanding dengan barisan itu sendiri. Seperti yang mungkin telah Anda lihat dalam kalkulus, tepat fungsi-fungsi eksponensiallah yang mempunyai sifat ini.
Dalam contoh dan rumus di atas, kita menganggap bahwa suku
awal adalah
\(a_0\text{.}\) Jika barisan Anda dimulai dengan
\(a_1\text{,}\) Anda dapat dengan mudah menentukan suku yang seharusnya menjadi
\(a_0\) dan menggunakannya dalam rumus. Sebagai contoh, jika kita menginginkan rumus untuk barisan
\(2, 5, 8,\ldots\) dan menetapkan
\(2= a_1\text{,}\) kita dapat menentukan
\(a_0 = -1\) (karena barisan tersebut aritmetika dengan beda tetap 3, kita mempunyai
\(a_0 + 3 = a_1\)). Dengan demikian, rumus tertutupnya adalah
\(a_n = -1 + 3n\text{.}\)
Subbagian Melampaui Barisan Aritmetika dan Geometri
Perhatikan barisan
\((T_n)_{n\ge 1}\) yang dimulai dengan
\(1, 3, 6, 10, 15,\ldots\text{.}\) Bilangan-bilangan ini disebut
bilangan segitiga karena menyatakan banyaknya titik dalam suatu segitiga sama sisi (bayangkan susunan 10 pin boling: satu baris berisi 4, ditambah satu baris berisi 3, satu baris berisi 2, dan satu baris berisi 1).
Apakah barisan ini aritmetika? Bukan, karena
\(3-1 = 2\) dan
\(6-3 = 3 \ne 2\text{,}\) sehingga tidak ada beda tetap. Apakah barisan ini geometri? Bukan.
\(3/1 = 3\text{,}\) tetapi
\(6/3 = 2\text{,}\) sehingga tidak ada rasio tetap. Apa yang dapat kita lakukan?
Perhatikan bahwa
selisih antarsuku
memang membentuk barisan aritmetika:
\(2, 3, 4, 5, 6,\ldots\text{.}\) Dengan kata lain, laju perubahan barisan ini bersifat aritmetika:
\(T_n - T_{n-1} = n\text{,}\) yang langsung memberi kita relasi rekurensi
\(T_n = T_{n-1} + n\text{.}\)
Cara lain untuk memahaminya ialah bahwa suku ke-
\(n\) barisan
\((T_n)\) merupakan
jumlah \(n\) suku pertama barisan
\(1,2,3,4,5,\ldots\text{.}\) Dengan demikian,
\((T_n)\) adalah
barisan jumlah parsial dari barisan
\(1,2,3,\ldots\) (disebut jumlah
parsial karena kita tidak menjumlahkan seluruh suku yang banyaknya tak berhingga).
Hal ini akan menjadi lebih jelas jika kita menguraikan relasi rekurensi untuk menuliskan bilangan-bilangan segitiga sebagai berikut:
\begin{align*}
T_1 = 1 \amp = 1\\
T_2 = 3 \amp = 1+2\\
T_3 = 6 \amp = 1 + 2 + 3\\
T_4 = 10 \amp = 1+ 2 + 3+ 4\\
\vdots \amp \qquad \vdots\\
T_n \amp = 1 + 2 + 3 + \cdots + n\text{.}
\end{align*}
Di sini kita sebenarnya menggunakan iterasi. Kita juga dapat melihatnya melalui metode teleskopik dengan mengambil \(T_0 = 0\text{:}\)
\begin{align*}
T_1-T_0 = \amp 1\\
T_2 - T_1 = \amp 2\\
T_3 - T_2 = \amp 3\\
\vdots \amp \\
T_n - T_{n-1} = \amp n\text{.}
\end{align*}
Dengan menjumlahkan persamaan-persamaan ini, ruas kanan menjadi \(1+2+3+\cdots + n\text{;}\) suku-suku pada ruas kiri saling menghapus dan hanya menyisakan \(T_n - T_0 = T_n\text{.}\)
Jika kita mengetahui cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika, kita dapat menentukan rumus tertutup untuk barisan yang selisih-selisihnya merupakan suku-suku barisan aritmetika tersebut. Pertimbangkan cara menentukan jumlah 100 bilangan bulat positif pertama (yaitu
\(T_{100}\)). Alih-alih menjumlahkannya secara berurutan, kita kelompokkan kembali dan jumlahkan
\(1+100 = 101\text{.}\) Pasangan berikutnya adalah
\(2+99 = 101\text{.}\) Kemudian
\(3+98 = 101\text{.}\) Lanjutkan dengan cara yang sama. Kita memperoleh 50 pasangan yang masing-masing berjumlah
\(101\text{,}\) sehingga
\(T_{100} = 101\cdot 50 = 5050\text{.}\)Gagasan ini biasanya dikaitkan dengan Carl Friedrich Gauss, salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa, yang menemukannya sewaktu kecil ketika guru sekolah dasarnya yang kurang menyenangkan bermaksud menyibukkan kelas dengan meminta mereka menghitung penjumlahan panjang tersebut.
Secara umum, dengan pengelompokan kembali seperti ini, kita memperoleh
\(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}\) Kebetulan, nilai ini tepat sama dengan
\({n+1 \choose 2}\text{.}\) Hal itu masuk akal jika bilangan segitiga dipandang sebagai banyaknya jabat tangan yang terjadi pada pesta dengan
\(n+1\) orang: orang pertama berjabat tangan dengan
\(n\) orang, orang berikutnya melakukan
\(n-1\) jabat tangan tambahan, dan seterusnya.
Inti pembahasan ini adalah bahwa beberapa barisan, meskipun bukan aritmetika maupun geometri, dapat ditafsirkan sebagai barisan jumlah parsial dari barisan aritmetika dan geometri. Untungnya, ada beberapa metode untuk menghitung jumlah-jumlah tersebut dengan cepat; metode itu akan kita pelajari dalam dua bagian berikutnya.
