Matematika Diskret Sebuah Pengantar Terbuka, Edisi Keempat

Kita telah mempelajari logika baik sebagai subdisiplin matematika tersendiri maupun sebagai sarana yang membantu kita memahami dan menulis pembuktian dengan lebih baik. Kita telah melihat bahwa pernyataan matematis memiliki bentuk logis tertentu, dan menganalisis bentuk tersebut dapat membantu kita memahami pernyataannya.

Pada tingkat yang paling dasar, suatu pernyataan dapat menggabungkan pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana dengan menggunakan penghubung logis. Kita sering menggunakan variabel dan melakukan kuantifikasi atas variabel-variabel tersebut. Pokok kajian logika adalah cara menentukan benar atau salahnya suatu pernyataan berdasarkan penghubung dan kuantor ini. Dari sini, kita dapat menentukan apakah dua pernyataan ekuivalen secara logis atau apakah satu atau beberapa pernyataan mengimplikasikan pernyataan lain secara logis.

Ketika menulis pembuktian (dalam bidang matematika apa pun), tujuan kita adalah menjelaskan mengapa suatu pernyataan matematis benar. Karena itu, sangatlah penting agar argumen kita benar-benar mengimplikasikan kebenaran pernyataan tersebut. Untuk memastikannya, pertama-tama kita harus mengetahui apa makna kebenaran pernyataan itu, serta memastikan bahwa pernyataan-pernyataan yang membentuk pembuktian mengimplikasikan kesimpulannya dengan benar. Pemahaman logika yang kukuh diperlukan untuk memeriksa apakah suatu pembuktian benar.

Namun, terdapat alasan lain mengapa pemahaman logika dapat membantu. Memahami struktur logis suatu pernyataan sering memberi petunjuk tentang cara menulis pembuktiannya.

Hal ini bukan berarti bahwa menulis pembuktian selalu mudah. Perhatikan kembali konjektur Goldbach:

Kita tidak akan mencoba membuktikan pernyataan tersebut di sini, tetapi setidaknya kita dapat menggambarkan bentuk pembuktian yang mungkin, berdasarkan bentuk logis pernyataannya. Kita dapat menulis ulang pernyataan itu untuk menonjolkan kuantor dan penghubungnya:

Seperti apa bentuk pembuktian langsungnya? Karena pernyataan tersebut diawali dengan kuantor universal, kita akan memulai dengan “Misalkan \(n\) suatu bilangan bulat sembarang.” Bagian selebihnya dari pernyataan itu merupakan implikasi. Dalam pembuktian langsung, kita mengasumsikan bagian “jika”, sehingga baris berikutnya berbunyi, “Asumsikan \(n\) lebih besar dari 2 dan genap.” Saya tidak tahu apa yang harus dilakukan selanjutnya, tetapi pada akhirnya kita perlu menemukan dua bilangan prima \(p\) dan \(q\) (yang bergantung pada \(n\)) dan menjelaskan bagaimana kita mengetahui bahwa \(n = p+q\text{.}\)

Atau mungkin kita mencoba pembuktian dengan kontradiksi. Untuk melakukannya, pertama-tama kita mengasumsikan negasi dari pernyataan yang ingin dibuktikan. Apakah negasinya? Berdasarkan apa yang telah kita pelajari, kita seharusnya dapat melihat bahwa negasinya adalah,

Mungkinkah pernyataan ini benar? Pembuktian dengan kontradiksi akan dimulai dengan mengasumsikan bahwa pernyataan ini benar dan pada akhirnya memperoleh suatu kontradiksi, sehingga membuktikan bahwa asumsi kebenaran kita keliru. Jika Anda dapat menemukan kontradiksi semacam itu, Anda telah membuktikan salah satu masalah terbuka paling terkenal dalam matematika. Semoga berhasil.