Matematika Diskret Sebuah Pengantar Terbuka, Edisi Keempat

Mendefinisikan matematika diskret itu sulit karena mendefinisikan matematika juga sulit. Apa itu matematika? Ilmu tentang bilangan? Sebagian memang demikian, tetapi Anda juga mempelajari fungsi, garis, segitiga, paralelepiped, vektor, dan …. Atau mungkin Anda ingin mengatakan bahwa matematika adalah kumpulan alat yang memungkinkan Anda memecahkan masalah. Masalah seperti apa? Ya, masalah yang melibatkan bilangan, fungsi, garis, segitiga, …. Apa pun pemahaman Anda tentang matematika, cobalah terapkan konsep “diskret” kepadanya, sebagaimana didefinisikan di atas. Sebagian matematika pada dasarnya membahas hal-hal yang terpisah satu per satu dan berbeda.

Dalam kuliah aljabar atau kalkulus, Anda mungkin pernah menjumpai suatu himpunan bilangan tertentu (mungkin himpunan tersebut merupakan daerah hasil suatu fungsi). Anda akan menyatakan himpunan ini sebagai suatu interval: \([0,\infty)\) adalah daerah hasil \(f(x) = x^2\) karena himpunan keluaran fungsi tersebut mencakup semua bilangan real yang lebih besar dari atau sama dengan 0. Himpunan bilangan ini TIDAK diskret. Bilangan-bilangan dalam himpunan tersebut sama sekali tidak benar-benar terpisah. Bahkan, ambillah sembarang dua bilangan dalam himpunan itu; di antara keduanya terdapat tak terhingga banyak bilangan lain yang juga termasuk dalam himpunan tersebut.

Matematika diskret tetap dapat mengajukan pertanyaan tentang daerah hasil suatu fungsi, tetapi himpunannya bukan berupa interval. Perhatikan fungsi yang memberikan jumlah anak dari setiap orang yang membaca ini. Apa daerah hasilnya? Saya menduga kira-kira \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\text{.}\) Mungkin 5 atau 6 juga termasuk.

¹

Bahkan bilangan asli yang lebih besar untuk nenek tua yang tinggal di dalam sepatu.

Namun, tentu tidak seorang pun yang membaca ini memiliki 1.32419 anak. Himpunan keluaran ini memang diskret karena unsur-unsurnya terpisah. Masukan fungsi tersebut juga membentuk himpunan diskret karena setiap masukan adalah seorang individu.

Ada banyak objek matematika diskret selain himpunan bilangan; beberapa di antaranya akan kita perkenalkan dalam Subbab 0.2. Mempelajari struktur diskret ini merupakan fokus utama matematika diskret dan buku ini. Namun, kita ingin mempelajari struktur-struktur ini karena struktur tersebut menyediakan cara untuk memodelkan masalah “dunia nyata”.

²

Harus diakui bahwa banyak masalah yang dibahas dalam buku ini sengaja direkayasa dan jelas bersifat fiktif, tetapi semoga Anda dapat melihat bagaimana masalah-masalah sederhana ini dapat digeneralisasi sehingga benar-benar merepresentasikan masalah yang penting bagi orang-orang dalam kenyataan.

Untuk memperoleh gambaran tentang bidang ini, mari kita perhatikan jenis-jenis masalah yang Anda pecahkan dalam matematika diskret. Berikut beberapa contoh sederhana:

Ketika mempertimbangkan masalah-masalah di atas, jangan khawatir jika penyelesaiannya belum tampak jelas bagi Anda. Di sini kita lebih tertarik pada jenis informasi yang diperlukan agar dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut. Bagaimana kita dapat merepresentasikan situasi itu menggunakan objek-objek yang terpisah satu per satu dan berbeda? Jangan lanjutkan membaca sebelum setidaknya memikirkan hal ini untuk setiap pertanyaan.

Keempat masalah di atas menggambarkan empat topik utama buku ini: kombinatorika (teori tentang cara berbagai hal dikombinasikan; khususnya, cara menghitung kemungkinan-kemungkinan tersebut), barisan, logika simbolik, dan teori graf. Namun, ada topik-topik lain yang juga dianggap sebagai bagian dari matematika diskret, termasuk ilmu komputer, aljabar abstrak, teori bilangan, teori permainan, probabilitas, dan geometri (beberapa di antaranya, terutama dua yang terakhir, memiliki versi diskret maupun nondiskret).

Pada akhirnya, cara terbaik untuk mempelajari matematika diskret adalah dengan mengerjakannya. Mari kita mulai! Sebelum mulai menjawab masalah-masalah yang lebih rumit (dan menyenangkan), kita akan meninjau secara sangat singkat jenis-jenis struktur diskret yang akan kita gunakan.