Misalkan Anda memiliki sekotak besar biskuit berbentuk hewan yang memuat banyak biskuit untuk masing-masing dari 10 jenis hewan berbeda. Untuk pertanyaan pencacahan berikut, perhatikan dengan saksama persamaan dan perbedaannya, lalu berikan jawaban. Setiap jawaban merupakan salah satu dari bentuk berikut:
Dengan berapa banyak cara Anda dapat memberikan satu biskuit berbentuk hewan kepada masing-masing dari 6 anak sehingga tidak ada dua anak yang menerima jenis hewan yang sama?
Dengan begitu banyak teknik pencacahan berbeda yang telah kita kuasai dalam bab ini, mungkin sulit menentukan teknik mana yang harus diterapkan dalam suatu keadaan. Memang, kita sangat mudah tertukar dan menggunakan metode pencacahan yang keliru bagi suatu masalah. Kemampuan Anda akan meningkat melalui latihan. Ketika berlatih, Anda mulai mengenali sejumlah pola yang membantu membedakan berbagai jenis masalah pencacahan. Berikut beberapa saran yang mungkin berguna ketika menentukan cara menangani suatu masalah pencacahan dan memeriksa apakah penyelesaian Anda benar.
Ingatlah bahwa Anda sedang mencacah banyaknya objek dalam suatu daftar hasil. Tuliskan sebagian dari daftar tersebut. Tuliskan sebuah anggota di tengah daftar – bagaimana Anda menentukan bahwa anggota tersebut benar-benar termasuk dalam daftar? Apakah jawaban yang Anda usulkan dapat menghasilkan anggota tersebut lebih dari sekali?
Jika pembentukan sebuah anggota dalam daftar melibatkan pemilihan sesuatu (misalnya, memilih huruf atau memilih posisi untuk menempatkan huruf), bolehkah objek yang Anda pilih berulang? Ingat, permutasi dan kombinasi memilih objek dari suatu himpunan tanpa pengulangan.
Apakah urutan penting? Berhati-hatilah dan pastikan Anda memahami makna jawaban Anda. Biasanya kita mengatakan bahwa urutan penting jika pemilihan objek yang sama dalam urutan berbeda menghasilkan hasil yang berbeda. Kombinasi dan metode “batang dan batu” digunakan ketika urutan tidak penting.
Terdapat empat kemungkinan terkait urutan dan pengulangan. Jika urutan penting dan pengulangan diperbolehkan, jawabannya berbentuk \(n^k\text{.}\) Jika urutan penting dan pengulangan tidak diperbolehkan, kita memperoleh \(P(n,k)\text{.}\) Jika urutan tidak penting dan pengulangan diperbolehkan, gunakan metode batang dan batu. Jika urutan tidak penting dan pengulangan tidak diperbolehkan, gunakan \({n\choose k}\text{.}\) Namun, berhati-hatilah: pedoman ini hanya berlaku ketika Anda memilih objek, dan Anda harus memastikan dengan tepat apa yang dipilih sebelum menentukan kasus yang sesuai.
Pikirkan cara merepresentasikan masalah pencacahan Anda menggunakan himpunan atau fungsi. Kita mengetahui cara mencacah berbagai jenis himpunan dan berbagai tipe fungsi.
Seperti yang kita lihat dalam pembuktian kombinatorial, suatu masalah pencacahan sering kali dapat diselesaikan dengan lebih dari satu cara. Lakukan hal itu dan bandingkan jawaban numeriknya. Jika jawabannya tidak sama, ada sesuatu yang keliru.
Meskipun kita telah membahas banyak teknik pencacahan, kita sebenarnya baru menyentuh permukaan bidang luas kombinatorika enumeratif. Bahkan ketika Anda membaca ini, ada matematikawan yang melakukan penelitian orisinal dalam bidang tersebut. Pencacahan dapat menjadi sangat sulit.
Dalam bab berikutnya, kita akan mendekati pertanyaan pencacahan dari arah yang sangat berbeda dan, dengan demikian, menjawab tak berhingga banyak pertanyaan pencacahan sekaligus. Kita akan membentuk barisan jawaban bagi pertanyaan-pertanyaan yang saling berkaitan.
Untuk setiap persoalan pencacahan berikut, tentukan apakah jawabannya adalah \({10\choose 4}\text{,}\)\(P(10,4)\text{,}\) atau bukan keduanya. Jika jawaban Anda adalah “bukan keduanya”, nyatakan jawaban yang seharusnya.
Ada berapa lintasan kisi terpendek dari \((0,0)\) ke \((10,4)\text{?}\)
Jika 10 mahasiswa datang ke ruang dosen mereka, tetapi hanya 4 orang yang dapat masuk sekaligus, ada berapa kombinasi berbeda yang terdiri atas 4 mahasiswa yang dapat menemui dosen terlebih dahulu?
Sepuluh anak menginginkan es krim. Anda memiliki 4 jenis. Ada berapa cara untuk memberikan es krim sebanyak yang mereka inginkan kepada anak-anak tersebut?
Grup musik Anda melakukan tur. Terdapat 10 kota yang dapat dicapai dengan berkendara, tetapi waktu hanya cukup untuk tampil di 4 kota. Ada berapa pilihan kota untuk tur Anda?
Ingatlah bahwa Anda memiliki 4 dasi panjang biasa dan 8 dasi kupu-kupu. Anda menyadari bahwa mengenakan lebih dari dua dasi untuk wawancara sekolah tinggi badut tidak menjadi masalah.
Anda harus memilih dasi yang akan dikenakan. Anda boleh tidak mengenakan dasi sama sekali atau mengenakan semuanya. Berapa banyak pilihan yang tersedia?
Jika Anda ingin mengenakan sedikitnya satu dasi panjang dan satu dasi kupu-kupu, tetapi boleh mengenakan semua dasi, berapa banyak pilihan himpunan dasi yang dapat dikenakan?
Setelah memilih 3 dasi panjang dan 2 dasi kupu-kupu, dalam berapa urutan Anda dapat mengenakannya jika dasi paling luar harus berupa salah satu dasi kupu-kupu?
Berikan suatu persoalan pencacahan yang jawabannya adalah \(8\cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\text{.}\) Berikan persoalan lain yang jawabannya adalah \(8 + 3 + 3 + 5\text{.}\)
Perhatikan bilangan berbentuk \(\alpha = a_1a_2a_3\dots a_n\text{,}\) yang terdiri atas \(n\) digit, dengan setiap digit berasal dari himpunan \({\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}\text{.}\) Sebagai contoh, jika \(n = 4\text{,}\) bilangan \(\alpha = a_1a_2a_3a_4\) memiliki 4 digit dari himpunan \({\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}\text{.}\)
Dalam sebuah survei kecil baru-baru ini terhadap penumpang pesawat, 27 orang mengatakan bahwa mereka pernah terbang dengan American pada tahun lalu, 22 pernah terbang dengan JetBlue, dan 30 pernah terbang dengan Continental. Di antara mereka, 13 orang pernah terbang dengan American dan JetBlue, 12 pernah terbang dengan JetBlue dan Continental, serta 11 pernah terbang dengan American dan Continental. Sebanyak 4 penumpang pernah terbang dengan ketiga maskapai tersebut.
Berapa banyak kata sepanjang 11 huruf yang memuat tepat 3 huruf vokal? (Sebagai contoh, kata sepanjang 8 huruf dengan 5 huruf vokal adalah “aaioobtt”; dalam latihan ini, jangan anggap “y” sebagai huruf vokal.)
Anda tinggal di Kota Kisi pada persimpangan Jalan 2 dan Jalan 4, dan bekerja di sebuah gedung pada persimpangan Jalan 20 dan Jalan 16. Berapa banyak rute yang membawa Anda dari rumah ke tempat kerja, lalu kembali ke rumah melalui rute yang berbeda?
Kita akan membentuk kata sepanjang 9 huruf dari himpunan huruf \(a,b,c,d,e,f \dots\text{.}\) Tepat 9 huruf pertama tersedia dan semua huruf tersebut harus digunakan.
Berapa banyak kata sepanjang 9 huruf tanpa pengulangan yang tidak memuat subkata “bad” sebagai tiga huruf berurutan?
Misalkan Anda memiliki 19 lembar uang satu dolar untuk dibagikan sebagai hadiah kepada 6 mahasiswa matematika diskret terbaik Anda. Berapa banyak cara pembagiannya jika:
masing-masing dari 6 mahasiswa memperoleh sedikitnya 1 dolar?
Berapa banyak fungsi yang memetakan \({\left\{1,2,3,4,5,6\right\}}\)secara surjektif ke \({\left\{1,2,3,4,5\right\}}\) (dengan kata lain, berapa banyak fungsi surjektif yang ada)?
Untuk berterima kasih kepada dosen matematika Anda atas pengajarannya sepanjang semester, Anda memutuskan membuatkan kue kering. Anda mengetahui cara membuat 15 jenis kue kering yang berbeda.
Jika Anda ingin memberikan 8 jenis kue kering yang berbeda, berapa banyak kombinasi jenis kue yang dapat dipilih? Jelaskan jawaban Anda.
Agar lebih menarik, Anda memutuskan membuat jumlah kue yang berbeda untuk setiap jenis. Jika Anda kembali ingin memilih 8 jenis kue, berapa banyak cara untuk memilih jenis-jenis tersebut dan menentukan jenis mana yang dibuat paling banyak, kedua terbanyak, dan seterusnya? Jelaskan jawaban Anda.
Anda berubah pikiran lagi. Kali ini Anda memutuskan membuat seluruhnya 22 kue. Setiap kue dapat berupa salah satu dari 15 jenis yang dapat Anda buat (dan beberapa jenis boleh tidak dibuat). Berapa banyak pilihan yang ada? Jelaskan.
Anda menyadari bahwa rencana sebelumnya belum memperhitungkan penyajian. Kali ini Anda kembali ingin membuat 22 kue, dan setiap kue dapat berupa salah satu dari 15 jenis. Namun, sekarang Anda berencana membentuk kue-kue tersebut menjadi angka 1, 2, ..., 22. Berapa banyak pilihan jenis kue untuk setiap bentuk angka? Jelaskan.
Satu-satunya kekurangan rencana terakhir adalah bahwa dosen Anda mungkin tidak dapat mencicipi semua 15 jenis kue. Berapa banyak pilihan jenis kue untuk setiap bentuk angka jika setiap jenis harus muncul sedikitnya sekali? Jelaskan.
Untuk bagian mana dari soal sebelumnya (Latihan 3.9.19) masuk akal untuk menafsirkan persoalan pencacahan sebagai pencacahan sejumlah fungsi? Nyatakan domain dan kodomain yang sesuai, serta apakah Anda mencacah semua fungsi, fungsi injektif, fungsi surjektif, atau jenis lainnya.
