Misalkan Anda, seperti bangsawan Prancis abad ke-17 Chevalier de Mere, gemar berjudi berdasarkan hasil pelemparan dadu bersisi 6 yang adil (masing-masing bernomor 1 sampai 6). Bersediakah Anda bertaruh bahwa ia tidak akan memperoleh sedikitnya satu angka 6 dalam empat kali pelemparan satu dadu? Bagaimana jika Anda bertaruh bahwa ia tidak akan memperoleh sedikitnya satu pasangan angka 6 dalam 24 kali pelemparan dua dadu?
Karena rasio \(4:6\) sama dengan rasio \(24:36\text{,}\) apakah peluang kedua kejadian ini seharusnya sama? Itulah yang dipikirkan Chevalier de Mere. Apakah Anda sependapat?
Berikut sebuah skrip Python yang dapat membantu Anda memperoleh gambaran tentang pertanyaan-pertanyaan di atas. Anda dapat beralih di antara kedua pertanyaan dengan menjadikan baris yang sesuai sebagai komentar atau mengaktifkannya kembali (baris yang diawali # adalah komentar). Cobalah dan lihat seberapa beruntung Anda!
Jika Anda memahami sedikit Python, Anda mungkin ingin mengubah skrip tersebut untuk menjalankan percobaan 1000 kali dan melihat berapa banyak di antaranya yang merupakan “kemenangan”.
Kita dapat memperoleh pemahaman tentang peluang secara empiris dengan mengamati seberapa sering suatu kejadian terjadi ketika sebuah percobaan diulang berkali-kali. Seperti yang dialami Chevalier de Mere, intuisi kita tentang peluang sering kali tidak sepenuhnya tepat. Dengan menggunakan teknik pencacahan yang telah kita pelajari, kita dapat menjelaskan mengapa intuisi tersebut keliru dan menentukan peluang yang sebenarnya.
Sebagian besar pertanyaan pencacahan yang telah kita bahas dalam bab ini juga dapat diajukan sebagai pertanyaan tentang peluang. Sebagai contoh: Berapa banyak kata sandi sepanjang 8 karakter yang dapat dibuat hanya dengan huruf kecil? Berapa peluang bahwa pemilihan 8 huruf kecil secara acak menghasilkan kata sandi Anda?
Meskipun kajian peluang sangat luas dan kompleks, dasar-dasar peluang diskret pada hakikatnya tidak lebih dari pencacahan. Karena itu, di sini kita akan meninjau secara singkat bagaimana pencacahan dapat membantu kita memahami peluang.
Misalkan Anda berada di kelas yang terdiri atas 30 mahasiswa. Seberapa besar peluang bahwa sedikitnya dua mahasiswa lahir pada tanggal yang sama dalam setahun?
Anggaplah setiap tanggal memiliki peluang yang sama dan tidak ada seorang pun yang lahir pada 29 Februari. Apakah menurut Anda jawabannya lebih dari 25%? Lebih dari 50%? Lebih dari 70%? Mari kita cari jawabannya.
Kita akan mendefinisikan peluang suatu kejadian sebagai banyaknya cara kejadian itu dapat terjadi dibagi dengan banyaknya seluruh hasil yang mungkin terjadi.
Di antara 30 orang tersebut, semua tanggal lahir mereka berbeda atau sedikitnya dua orang memiliki tanggal lahir yang sama. Karena salah satu di antara kedua kemungkinan ini pasti terjadi, peluangnya adalah 1. Jadi, berapa peluang bahwa sedikitnya dua dari 30 orang tersebut memiliki tanggal lahir yang sama?
Pikirkan bagaimana kita menggunakan bahasa peluang dalam kehidupan sehari-hari. Kita mungkin mengatakan bahwa pelemparan sebuah koin memiliki peluang 50% menghasilkan sisi kepala. Atau bahwa ketika melempar dua dadu, jumlah 7 lebih mungkin diperoleh daripada jumlah 2. Kasino tentu mengandalkan kenyataan bahwa pasangan kartu tertentu secara konsisten lebih mungkin muncul daripada pasangan lainnya ketika menetapkan pembayaran dalam Blackjack. Semua ini mengandaikan adanya unsur keacakan dalam suatu kejadian dan, bahkan di tengah keacakan itu, adanya keteraturan tertentu pada apa yang mungkin terjadi. Kita akan menggunakan model kenyataan ini.
Proses yang dapat kita beri nilai peluang disebut percobaan acak. Percobaan semacam itu dapat memiliki berbagai hasil yang mungkin. Kita menyebut himpunan berhingga semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak sebagai ruang sampel (biasanya himpunan ini kita nyatakan dengan \(S\)). Menurut definisi, pelaksanaan suatu percobaan acak selalu menghasilkan tepat satu hasil dari ruang sampel.
Di seluruh bagian ini, kita selalu mengasumsikan distribusi peluang seragam, yang berarti bahwa setiap hasil dalam ruang sampel memiliki peluang yang sama. Dengan demikian, peluang setiap hasil tertentu dalam ruang sampel \(S\) tepat sama dengan \(\frac{1}{\card{S}}\text{.}\)
Distribusi peluang seragam merupakan asumsi yang umum dan masuk akal, tetapi asumsi ini membuat beberapa pertanyaan tidak dapat kita ajukan. Sebagai contoh, lemparan anak panah ke papan sasaran tidak berdistribusi seragam; begitu pula pelemparan dadu berbobot. Berapa peluang sebuah paku payung jatuh dengan ujung runcing menghadap ke atas? Bagaimana kita dapat mulai menjawab pertanyaan seperti ini? Kita harus membuat sejumlah asumsi tentang peluang sebenarnya dari setiap hasil (mungkin berdasarkan percobaan yang diulang berkali-kali).
Misalkan Anda melempar dua koin yang adil (koin satu sen dan lima sen). Apa ruang sampel dari hasil-hasil yang mungkin? Berapa peluang memperoleh dua sisi kepala?
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil percobaan yang mungkin, yang dalam kasus ini ialah \(\{HH, HT, TH, TT\}\text{,}\) dengan H menyatakan sisi kepala dan T menyatakan sisi ekor. Dengan demikian, peluang memperoleh dua sisi kepala adalah \(\frac{1}{4}\text{.}\) Bahkan, setiap hasil memiliki peluang \(\frac{1}{4}\) karena ruang sampelnya memuat 4 hasil.
Menentukan peluang suatu hasil memang semudah ini. Hal-hal menjadi lebih menarik ketika kita mencari peluang suatu kejadian, yaitu sebuah himpunan bagian dari ruang sampel. Untuk suatu percobaan acak tertentu, kita dapat menanyakan berbagai kejadian, dan kejadian-kejadian itu tidak harus saling lepas. Suatu kejadian juga dapat berupa himpunan yang hanya memuat satu hasil atau bahkan tidak memuat hasil apa pun.
Sebagai contoh, misalkan Anda melempar dadu bersisi 6 yang adil. Ruang sampelnya memuat enam hasil, yaitu \(\{1,2,3,4,5,6\}\text{.}\) Beberapa kejadian yang mungkin kita perhatikan meliputi memperoleh bilangan genap (himpunan bagian \(\{2,4,6\}\)), memperoleh bilangan yang kurang dari \(3\) (himpunan \(\{1,2\}\)), atau memperoleh bilangan yang kurang dari \(10\) (himpunan bagian \(\{1,2,3,4,5,6\}\)). Kita sekarang mengetahui bahwa tepat ada \(2^6 = 64\) kejadian berbeda yang dapat ditanyakan, karena ruang sampel memiliki \(64\) himpunan bagian.
Apa yang disiratkan intuisi kita tentang kejadian-kejadian di atas? Memperoleh bilangan genap seharusnya sama mungkin dengan memperoleh bilangan ganjil, sehingga kita berharap peluang memperoleh bilangan genap adalah \(\frac{1}{2}\text{.}\) Demikian pula, peluang memperoleh bilangan yang kurang dari \(3\) seharusnya \(\frac{1}{3}\) karena sepertiga hasil yang mungkin bernilai kurang dari 3. Bagaimana dengan memperoleh bilangan yang kurang dari \(10\text{?}\) Hal ini pasti terjadi, sehingga peluangnya \(100\%\text{,}\) yang dalam bentuk pecahan sama dengan \(1\text{.}\)
Misalkan suatu percobaan acak memiliki ruang sampel \(S\text{.}\) Peluang kejadian \(E\) adalah banyaknya hasil dalam \(E\) dibagi dengan banyaknya hasil dalam \(S\text{.}\) Kita menuliskannya sebagai \(P(E) = \frac{\card{E}}{\card{S}}\text{.}\)
Ruang sampelnya adalah himpunan kemungkinan hasil pelemparan \(\{1,2,3,4,5,6\}\text{.}\) Kejadian memperoleh bilangan genap, yang kita namai \(E\text{,}\) adalah himpunan hasil \(\{2, 4, 6\}\text{.}\) Dengan demikian, peluang terjadinya \(E\) adalah
Kita telah mencurahkan banyak usaha untuk mempelajari cara mencacah banyaknya anggota himpunan. Pengetahuan ini dapat kita gunakan untuk menghitung peluang dengan mencacah banyaknya anggota ruang sampel dan kejadian.
Pertama, mari kita cacah ruang sampelnya, yang terdiri atas semua tangan berisi 5 kartu. Urutan kartu dalam sebuah tangan tidak penting, sehingga kita cukup mencacah himpunan bagian beranggota 5 dari 52 kartu. Jadi, ruang sampel memuat \(\binom{52}{5}\) anggota. (Bilangan ini sedikit kurang dari 2,6 juta, tepatnya \(2,598,960\text{.}\))
Sekarang, berapa banyak di antaranya yang memuat empat kartu berperingkat sama? Kita dapat mencacahnya dengan terlebih dahulu memilih satu dari 13 peringkat yang akan muncul empat kali; pilihan ini dapat dilakukan dengan \(\binom{13}{1} = 13\) cara. Bagaimana dengan kartu lain dalam tangan tersebut? Ada 48 kartu lain yang mungkin, sehingga banyaknya tangan dengan empat kartu berperingkat sama adalah \(13\cdot 48 = 624\text{.}\)
Ada satu hal penting yang perlu diperhatikan: ketika mencacah banyaknya anggota ruang sampel dan kejadian, kita harus memastikan bahwa kita benar-benar mencacah banyaknya anggota dari ruang sampel yang termasuk dalam kejadian tersebut. Secara khusus, jika kita mencacah himpunan bagian kartu dalam ruang sampel (menggunakan kombinasi, bukan permutasi untuk mencacah barisan kartu), kita juga harus mencacah banyaknya himpunan bagian kartu dalam kejadian.
Menariknya, kita juga dapat menentukan peluang memperoleh empat kartu berperingkat sama dengan menggunakan permutasi. Banyaknya barisan 5 kartu adalah \(P(52,5) = 311,875,200\text{.}\) Mencacah barisan yang memuat empat kartu berperingkat sama sedikit lebih rumit. Ada 13 kemungkinan peringkat untuk keempat kartu tersebut dan 48 kemungkinan kartu kelima. Namun, kelima kartu itu dapat disusun dengan \(5!\) cara berbeda. Jadi, banyaknya barisan yang memuat empat kartu berperingkat sama adalah \(13\cdot 48\cdot 5!\text{.}\) Dengan demikian,
Apakah hasil ini mendekati jawaban sebelumnya? Hasilnya tepat sama (hal ini dapat diverifikasi dengan memperhatikan faktor tambahan \(5!\) pada pembilang dan penyebut).
Meskipun memilih kombinasi atau permutasi akan memberikan peluang yang sama selama pilihan yang sama digunakan untuk ruang sampel dan kejadian, kesetaraan semacam ini tidak selalu berlaku, sebagaimana akan Anda selidiki dalam beberapa latihan tambahan.
Berikut beberapa fakta dasar tentang peluang yang langsung mengikuti definisi peluang dan pemahaman kita tentang pencacahan. Meskipun kita masih mengasumsikan bahwa semua hasil dalam ruang sampel memiliki peluang yang sama (distribusi peluang seragam), aturan-aturan ini berlaku untuk semua distribusi peluang.
Pertama, kita sering tertarik pada peluang bahwa suatu kejadian tidak terjadi. Kita menyebutnya komplemen kejadian tersebut. Ingatlah bahwa kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel; tidak berada “di dalam” kejadian berarti berada dalam komplemen himpunan bagian tersebut. Dengan menggunakan notasi yang sama seperti untuk himpunan, komplemen kejadian \(E\) ditulis \(\bar{E}\text{.}\) Berikut hubungan antara peluang suatu kejadian dan peluang komplemennya.
Ingat bahwa \(P(E) = \frac{\card{E}}{\card{S}}\text{,}\) yaitu banyaknya hasil dalam kejadian \(E\) dibagi dengan banyaknya seluruh hasil. Lalu, berapa banyak hasil yang tidak berada dalam \(E\text{?}\) Semua hasil lainnya. Dengan demikian,
Ada banyak cara untuk memperoleh sedikitnya satu sisi kepala, tetapi hanya ada satu cara untuk tidak memperoleh sisi kepala sama sekali (yaitu, semua hasilnya sisi ekor). Karena itu, masuk akal untuk menghitung peluang yang diminta sebagai komplemen dari peluang yang lebih mudah dihitung.
Ruang sampelnya adalah himpunan semua barisan hasil 10 pelemparan. Berapa banyak barisan tersebut? Setiap suku dalam barisan dapat berupa sisi kepala (H) atau sisi ekor (T), sehingga terdapat \(2^{10} = 1024\) barisan yang mungkin.
Kita ingin menentukan peluang memperoleh sedikitnya satu sisi kepala. Anggaplah ini sebagai pertanyaan pencacahan: berapa banyak barisan 10 pelemparan yang memuat sedikitnya satu sisi kepala? Semua \(1024\) barisan kecuali satu barisan yang seluruhnya sisi ekor. Jadi, terdapat \(1023\) barisan yang memuat sedikitnya satu sisi kepala. Dengan demikian, peluang memperoleh sedikitnya satu sisi kepala adalah \(\frac{1023}{1024}\text{.}\)
Tunggu, apakah kita menggunakan Teorema 3.7.6? Tidak secara eksplisit, tetapi pada dasarnya kita menggunakannya. Dengan teorema tersebut, kita akan mengatakan bahwa peluang memperoleh sedikitnya satu sisi kepala adalah
Jadi, baik kita melakukan pengurangan untuk menghitung banyaknya anggota komplemen maupun menggunakan rumus komplemen lalu mengurangkan pecahan, kita memperoleh jawaban yang sama.
Kejadian komplemennya adalah melempar dadu empat kali dan tidak pernah memperoleh angka 6. Dari \(6^4\) kemungkinan barisan pelemparan, terdapat \(5^4\) yang tidak memuat angka 6. Jadi, peluang memperoleh sedikitnya satu angka 6 dalam empat kali pelemparan adalah
Untuk variasi pasangan angka 6 dalam 24 pelemparan, kita juga menggunakan kejadian komplemen: berapa peluang tidak memperoleh pasangan angka 6? Artinya, pada setiap pelemparan kita memperoleh salah satu dari 35 pasangan lainnya.
Chevalier de Mere memang memperhatikan bahwa ketika memainkan permainan dengan dua dadu, dalam jangka panjang ia cenderung kehilangan uang. Kepada siapa ia meminta bantuan? Tentu saja Blaise Pascal!
Peluang 1 berarti bahwa kejadian tersebut pasti, sehingga persamaan ini dapat dipandang sebagai peluang bahwa kejadian \(E\) terjadi atau tidak terjadi. Inilah makna yang kita inginkan ketika menjumlahkan peluang.
Kita tidak memerlukan teorema untuk menjawab pertanyaan ini. Ruang sampelnya adalah \(\{1,2,3,4,5,6\}\) dan kejadiannya adalah himpunan bagian \(E = \{1,2,4,6\}\text{.}\) Jadi, \(P(E) = \frac{4}{6}\text{.}\)
Untuk melihat asal bilangan \(4\text{,}\) misalkan \(A\) adalah kejadian memperoleh bilangan genap (jadi \(A = \{2,4,6\}\)) dan \(B\) adalah kejadian memperoleh bilangan yang kurang dari 3 (jadi \(B = \{1,2\}\)). Perhatikan bahwa notasi \(P(E) = P(A \cup B)\) masuk akal karena, sebagai himpunan, memang berlaku \(E = A \cup B\text{.}\)
Kita harus menentukan banyaknya anggota himpunan \(A \cup B\text{.}\) Namun, kita tahu cara menentukan banyaknya anggota gabungan himpunan yang tidak saling lepas: gunakan prinsip inklusi–eksklusi! Jadi, \(\card{A \cup B} = 3 + 2 - 1 = 4\text{.}\)
Seperti yang ditunjukkan contoh tersebut, pada dasarnya kita telah menerjemahkan prinsip penjumlahan ke dalam bahasa peluang. Dapatkah kita melakukan hal yang sama untuk prinsip perkalian?
Kita menggunakan prinsip perkalian untuk menentukan banyaknya cara dua kejadian dapat terjadi secara berurutan. Banyak pertanyaan peluang menanyakan peluang kejadian majemuk semacam ini. Mari kita perhatikan sebuah contoh untuk memahami apa yang terjadi.
Tanpa mendaftarkan semuanya, kita dapat menghitung banyaknya anggota ruang sampel menggunakan prinsip perkalian: \(\card{S} = 6\cdot 2 = 12\text{.}\) Kejadian yang kita perhatikan adalah himpunan hasil \(E = \{(2,H), (4,H), (6,H)\}\text{.}\) Himpunan ini jelas beranggota \(3\text{,}\) yang juga dapat kita peroleh sebagai \(3 \cdot 1\text{.}\) Jadi, peluang kejadian ini adalah \(P(E) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\text{.}\)
Sekarang perhatikan kedua kejadian secara terpisah. Misalkan \(A\) adalah kejadian memperoleh bilangan genap dan \(B\) adalah kejadian memperoleh sisi kepala ketika melempar koin. Peluang kejadian pertama adalah \(P(A) = \frac{3}{6}\text{.}\) Peluang kejadian kedua adalah \(P(B) = \frac{1}{2}\text{.}\) Tampaknya cara yang tepat untuk menggabungkan kedua peluang ini adalah mengalikannya:
Sangatlah sesuai bahwa perkalian pecahan dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut secara terpisah; hal ini sama dengan menerapkan prinsip perkalian pada pembilang dan penyebut pecahan tersebut.
Contoh di atas berhasil karena kedua kejadian tersebut saling bebas. Secara intuitif, ini berarti bahwa hasil kejadian pertama tidak memengaruhi hasil kejadian kedua. Sebenarnya, seperti halnya prinsip perkalian, kita menggunakan prinsip ini untuk mendefinisikan kebebasan.
Diberikan dua kejadian \(A\) dan \(B\text{,}\) kita mengatakan bahwa keduanya saling bebas jika peluang kedua kejadian terjadi sama dengan hasil kali peluang masing-masing kejadian:
\begin{equation*}
P(A \cap B) = P(A)P(B)\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut, kejadian bahwa \(A\) dan \(B\) sama-sama terjadi dinyatakan sebagai irisan \(A \cap B\text{.}\) Karena kejadian merupakan himpunan, penggunaan irisan masuk akal. Irisan dua himpunan memuat semua anggota yang berada dalam kedua himpunan, tepat seperti yang kita perlukan di sini.
Hal ini memperjelas perbedaan penting antara definisi tersebut dan prinsip perkalian. Kita menggunakan prinsip perkalian untuk membentuk himpunan hasil baru dengan menggabungkan hasil dari dua himpunan. Penggabungan ini menghasilkan jenis hasil yang baru. Sebagai contoh, prinsip perkalian menggabungkan himpunan
\begin{equation*}
\{1,2,3\} \text{ dan } \{H,T\} \text{ menjadi } \{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T\}\text{.}
\end{equation*}
Himpunan ini bukan irisan dua himpunan (sebenarnya, ini adalah hasil kali Kartesius: \(A \times B = \{(a,b) \st a \in A; b \in B\}\)). Definisi kebebasan melibatkan peluang relatif terhadap suatu himpunan hasil yang tetap. Jadi, anggota \(A\) dan \(B\) dalam definisi kebebasan sudah berupa barisan seperti yang akan kita bentuk dengan prinsip perkalian.
Jika kita lebih cermat dalam Contoh 3.7.11, ketika kita melempar dadu dan koin, kejadian \(A\) berupa perolehan bilangan genap seharusnya dinyatakan sebagai himpunan
\begin{equation*}
A = \{(2,H), (2,T), (4,H), (4,T), (6,H), (6,T)\}
\end{equation*}
dan kejadian \(B\) berupa perolehan sisi kepala seharusnya dinyatakan sebagai himpunan
\begin{equation*}
B = \{(1,H), (2,H), (3,H), (4,H), (5,H), (6,H)\}\text{.}
\end{equation*}
Dengan demikian, \(P(A) = \frac{6}{12}\) dan \(P(B) = \frac{6}{12}\text{,}\) sehingga hasil kalinya \(P(A)P(B) = \frac{6}{12}\frac{6}{12} = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}\text{.}\) Jadi, penyelesaian dalam contoh tersebut benar tetapi dapat menyesatkan. Kejadian \(A\) dan \(B\) memang saling bebas karena
\begin{equation*}
A \cap B = \{(2,H), (4,H), (6,H)\}
\end{equation*}
sehingga \(P(A \cap B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\text{.}\)
Ruang sampelnya adalah himpunan \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\text{.}\) Kejadian \(A\) adalah himpunan \(\{3,6,9,12\}\text{,}\)\(B\) adalah himpunan \(\{4,8,12\}\text{,}\) dan \(C\) adalah himpunan \(\{1,2,3,4,5,6\}\text{.}\) Jadi, peluang masing-masing kejadian adalah
Untuk menentukan apakah kejadian \(A\) dan \(B\) saling bebas, kita mencari \(P(A \cap B)\text{.}\) Peluang irisan kejadian \(A\) dan \(B\) (artinya bilangan yang diperoleh merupakan kelipatan 3 sekaligus 4) adalah \(\frac{1}{12}\) karena satu-satunya anggota irisan tersebut adalah 12. Kita membandingkannya dengan \(P(A)P(B) = \frac{1}{3}\frac{1}{4} = \frac{1}{12}\text{.}\) Karena keduanya sama, kedua kejadian tersebut saling bebas.
Namun, kejadian \(B\) dan \(C\)tidak saling bebas. Karena \(B \cap C = \{4\}\text{,}\) kita mempunyai \(P(B \cap C) = \frac{1}{12}\text{.}\) Akan tetapi, \(P(B)P(C) = \frac{1}{4}\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\text{.}\) Karena keduanya tidak sama, kedua kejadian tersebut tidak saling bebas. Hal ini masuk akal karena di antara bilangan yang kurang dari 7, proporsi kelipatan 4 berbeda dari proporsinya dalam seluruh ruang sampel.
Ketika dua kejadian tidak saling bebas, muncul sebuah pertanyaan baru yang menarik: berapa peluang suatu kejadian dengan syarat kejadian lain telah terjadi? Hal ini disebut ...
Masalah peluang terkenal yang dikenal sebagai masalah Monty Hall menyajikan teka-teki berikut. Anda tampil dalam acara kuis Let’s Make a Deal dan akan memenangkan apa pun yang berada di balik salah satu dari tiga pintu yang Anda pilih untuk dibuka. Di balik satu pintu terdapat mobil; di balik dua pintu lainnya terdapat kambing. Anda memilih sebuah pintu, tetapi sebelum pintu itu dibuka, pembawa acara (Monty Hall) membuka salah satu pintu lain yang menyembunyikan kambing. Kemudian Anda diberi kesempatan untuk berpindah pintu. Haruskah Anda berpindah? Jika berpindah, berapa peluang memperoleh mobil?
Anda mungkin tergoda untuk mengatakan bahwa peluang memperoleh mobil jika berpindah pintu adalah \(\frac{1}{2}\text{.}\) Lagi pula, tersisa dua pintu dan mobil berada di balik salah satunya. Namun, kita harus menanyakan peluang memperoleh mobil dengan syarat Monty telah memperlihatkan kambing di balik pintu lain yang tidak dipilih.
Apakah definisi ini sesuai dengan intuisi kita tentang makna peluang bersyarat? Mari kita pikirkan ruang sampelnya. Kita ingin mengetahui peluang terjadinya \(A\) dengan asumsi bahwa \(B\) telah terjadi. Dengan kata lain, kita hanya memperhatikan anggota ruang sampel yang termasuk dalam \(B\text{.}\)
Jika \(B\) menjadi ruang sampel, satu-satunya hasil dari \(A\) yang mungkin terjadi adalah hasil yang berada dalam \(A\)dan\(B\text{.}\) Jadi, mungkin definisi peluang bersyarat seharusnya
\begin{equation*}
P(A | B) = \frac{\card{A \cap B}}{\card{B}}\text{.}
\end{equation*}
Misalkan Anda melempar dua dadu bersisi 6 dengan mata tertutup. Teman Anda berkata, “Lihat, sedikitnya salah satu dadu Anda menunjukkan angka 4.” Berapa peluang bahwa jumlah kedua dadu itu adalah 7?
Pertama, perhatikan bahwa peluang memperoleh jumlah 7 adalah \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\text{,}\) sebab dari 36 pasangan bilangan yang mungkin muncul, terdapat enam pasangan yang jumlahnya 7: \(\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}\text{.}\) Namun, sekarang kita mengetahui bahwa sedikitnya salah satu dadu menunjukkan angka 4. Hal ini membatasi ruang sampel menjadi 11 pasangan yang memuat angka 4 (kita dapat mencacahnya dengan prinsip inklusi–eksklusi sebagai \(6 + 6 - 1\)). Di antaranya, hanya dua yang jumlahnya 7: \(\{(3,4), (4,3)\}\text{.}\) Jadi, peluang memperoleh jumlah 7 dengan syarat salah satu dadu menunjukkan angka 4 adalah \(\frac{2}{11}\text{.}\)
Jika kita menggunakan definisi peluang bersyarat, perhitungannya sedikit berbeda tetapi menghasilkan jawaban yang sama. Misalkan \(A\) adalah kejadian bahwa jumlahnya 7 dan \(B\) adalah kejadian bahwa sedikitnya salah satu dadu menunjukkan angka 4. Maka \(P(B) = \frac{11}{36}\) dan \(P(A \cap B) = \frac{2}{36}\text{.}\) Jadi, \(P(A|B) = \frac{2}{11}\text{.}\)
Perhatikan bahwa peluang memperoleh jumlah 7 dengan syarat dadu merah menunjukkan angka 4 (anggaplah kedua dadu berbeda warna) akan berbeda! Peluangnya \(\frac{1}{6}\text{,}\) sebab sebenarnya kita hanya menanyakan peluang bahwa dadu lainnya menunjukkan angka 3.
Misalkan Anda mengambil dua kartu dari setumpuk kartu standar yang berisi 52 kartu. Berapa peluang bahwa kartu kedua adalah kartu bergambar dengan syarat kartu pertama berwarna merah?
Ruang sampel kita terdiri atas \(52\cdot 51\) barisan dua kartu. Kejadian \(A\) terdiri atas pasangan yang kartu pertamanya berwarna merah. Kejadian \(B\) terdiri atas pasangan yang kartu keduanya merupakan kartu bergambar.
Kita mencari \(P(A | B)\) dan \(P(B | A)\text{,}\) sehingga kita perlu menentukan \(P(A)\text{,}\)\(P(B)\text{,}\) dan \(P(A \cap B)\text{.}\) Terdapat \(26 \cdot 51\) pasangan dalam \(A\) (pilih satu dari 26 kartu merah, lalu salah satu dari 51 kartu yang tersisa), sehingga
Menentukan banyaknya anggota irisan sedikit lebih menantang (kita pernah melakukannya dalam subbagian Menggabungkan Prinsip). Terdapat \(20\cdot 12\) pasangan yang diawali kartu merah bukan kartu bergambar dan diakhiri kartu bergambar, serta \(6 \cdot 11\) pasangan lain yang diawali kartu bergambar merah dan diakhiri kartu bergambar. Jadi,
Tunggu sebentar! Apa? Peluang bahwa kartu pertama berwarna merah dengan syarat kartu kedua merupakan kartu bergambar ternyata sama dengan peluang bahwa kartu pertama berwarna merah? Tampaknya \(P(A | B) = P(A)\) dan \(P(B | A) = P(B)\text{.}\) Apa artinya?
Perhatikan apa yang terjadi ketika kita menghilangkan penyebut dalam definisi peluang bersyarat
\begin{equation*}
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\end{equation*}
menjadi
\begin{equation*}
P(A \cap B) = P(B)P(A | B)\text{.}
\end{equation*}
Bentuk ini hampir sama dengan definisi dua kejadian yang saling bebas, kecuali bahwa faktor \(P(A)\) kini digantikan oleh \(P(A | B)\text{.}\) Namun, apa arti \(P(A | B)\) jika \(A\) dan \(B\) saling bebas? Jika kedua kejadian saling bebas, \(A\) tidak seharusnya menjadi lebih atau kurang mungkin terjadi setelah \(B\) terjadi. Jadi, seharusnya \(P(A | B) = P(A)\text{.}\) Inilah yang tepatnya kita lihat dalam contoh terakhir.
Misalkan Anda bertaruh dengan seorang teman bahwa Anda akan memperoleh lebih banyak sisi kepala daripada sisi ekor. Daftarkan semua anggota kejadian ini.
Berapa peluang yang Anda peroleh untuk kejadian yang sama jika menggunakan fakta bahwa peluang suatu kejadian sama dengan 1 dikurangi peluang komplemennya?
Berapa peluang memperoleh tepat 3 sisi kepala ATAU tepat 15 sisi kepala? Hitunglah dengan membagi banyaknya anggota kejadian dengan banyaknya anggota ruang sampel.
Anda memiliki sekantong M&M bertema matematika. Menurut keterangan pada kemasan, di dalamnya terdapat 1 M&M biru, 4 merah, 2 jingga, 1 hijau, 1 cokelat, dan 5 kuning.
Dalam setumpuk kartu standar yang berisi 52 kartu, terdapat 26 kartu merah dan 26 kartu hitam. Jadi, peluang mengambil kartu merah adalah \(0.5\text{.}\)
Misalkan Anda hanya mengambil delapan kartu permainan, yaitu empat kartu merah dan empat kartu hitam. Anda juga memiliki sebuah koin yang adil dan dapat melemparkannya sebanyak yang Anda inginkan.
Misalkan Anda memiliki tiga dadu: dadu bersisi 4, dadu bersisi 6, dan dadu bersisi 8. Setiap dadu adil dan bernomor dari 1 sampai banyaknya sisi dadu tersebut. Anda melempar ketiga dadu.
Dalam poker lima kartu, full house adalah tangan yang memuat tiga kartu dengan satu peringkat dan dua kartu dengan peringkat lain. Sebagai contoh, Anda dapat memiliki tiga kartu berperingkat 7 dan dua kartu berperingkat 4.
Sebuah pembangkit bilangan acak memilih bilangan satu digit (0 sampai 9) dengan peluang yang sama. Misalkan pembangkit tersebut menghasilkan lima bilangan.
Anggaplah bilangan keluar sebagai sebuah multihimpunan, atau secara ekuivalen, bilangan-bilangan tersebut harus muncul dalam urutan tak menurun. Gunakan metode batang dan batu untuk mencacah banyaknya anggota ruang sampel.
Masing-masing dari 10 orang teman memiliki setumpuk kartu yang telah mereka kocok dengan saksama. Setiap orang mengambil satu kartu dari tumpukannya. Berapa peluang bahwa sedikitnya sepasang teman mengambil kartu yang sama?
Berapa banyak orang yang harus berada dalam sebuah ruangan agar peluang sedikitnya dua orang memiliki tanggal lahir yang sama mencapai 50%? Anggaplah semua tanggal lahir memiliki peluang yang sama dan tidak ada seorang pun yang lahir pada hari kabisat (29 Februari).
Pada reuni sekolah menengah Anda yang ke-20, Anda bertemu seorang teman lama yang sudah bertahun-tahun tidak terdengar kabarnya. Anda berbicara tentang hewan peliharaan, khususnya kucing dan anjing. Ia memberi tahu bahwa ia memiliki dua hewan peliharaan dan sedikitnya salah satunya adalah kucing. Berapa peluang bahwa kedua hewan tersebut adalah kucing? (Anggaplah memiliki kucing atau anjing sama mungkinnya.)
Seorang teman lama lain mendengar percakapan Anda tentang hewan peliharaan dan mengatakan bahwa ia juga memiliki dua hewan peliharaan, serta bahwa hewan yang telah paling lama dipeliharanya adalah kucing. Berapa peluang bahwa kedua hewan tersebut adalah kucing? Mengapa jawaban ini berbeda dari jawaban pertanyaan sebelumnya?
Anda memainkan permainan tebak cangkir dengan tiga cangkir. Di bawah satu cangkir terdapat dua bola hijau, di bawah cangkir lain terdapat dua bola merah, dan di bawah cangkir ketiga terdapat satu bola hijau serta satu bola merah. Anda menutup mata, lalu teman Anda mengatur ulang letak cangkir-cangkir tersebut. Kemudian Anda membuka mata dan memilih satu cangkir secara acak. Anda melihat bahwa cangkir tersebut memuat sebuah bola hijau. Berapa peluang bahwa bola lainnya di bawah cangkir itu juga berwarna hijau? Jelaskan jawaban Anda menggunakan peluang bersyarat.
