Ini merupakan pernyataan “jika dan hanya jika”, sehingga kita harus membuktikan dua implikasi. Kita mulai dengan membuktikan bahwa jika \(T\) merupakan pohon, maka terdapat lintasan tunggal di antara setiap pasangan simpul berbeda.

Asumsikan \(T\) merupakan pohon, dan misalkan \(u\) serta \(v\) merupakan simpul yang berbeda (jika \(T\) hanya memiliki satu simpul, kesimpulannya terpenuhi secara otomatis). Untuk menunjukkan bahwa terdapat lintasan tunggal di antara \(u\) dan \(v\text{,}\) kita harus menunjukkan dua hal: terdapat suatu lintasan, dan tidak terdapat lebih dari satu lintasan. Hal pertama berlaku secara langsung; karena \(T\) merupakan pohon, pohon tersebut terhubung, sehingga terdapat lintasan di antara setiap pasangan simpul.

Untuk menunjukkan bahwa lintasan tersebut tunggal, andaikan terdapat dua lintasan di antara \(u\) dan \(v\text{,}\) lalu kita peroleh kontradiksi. Kedua lintasan mungkin berawal dengan cara yang sama, tetapi karena keduanya berbeda, terdapat simpul pertama \(u'\) yang setelahnya kedua lintasan berpisah. Namun, karena kedua lintasan berakhir di \(v\text{,}\) terdapat simpul pertama setelah \(u'\) yang kembali dimiliki keduanya; sebut simpul itu \(v'\text{.}\) Sekarang tinjau kedua lintasan dari \(u'\) ke \(v'\text{.}\) Jika digabungkan, keduanya membentuk siklus, yang bertentangan dengan asumsi bahwa \(T\) merupakan pohon.

Sekarang kita meninjau konversnya: Jika terdapat lintasan tunggal di antara setiap pasangan simpul berbeda pada \(T\text{,}\) maka \(T\) merupakan pohon. Jadi, asumsikan hipotesis berikut: Terdapat lintasan tunggal di antara setiap pasangan simpul berbeda pada \(T\text{.}\) Untuk membuktikan bahwa \(T\) merupakan pohon, kita harus menunjukkan bahwa pohon tersebut terhubung dan tidak memuat siklus.

Bagian pertama mudah: \(T\) terhubung karena terdapat lintasan di antara setiap pasangan simpul. Untuk menunjukkan bahwa \(T\) tidak memiliki siklus, demi memperoleh kontradiksi kita asumsikan bahwa graf tersebut memiliki suatu siklus. Misalkan \(u\) dan \(v\) merupakan dua simpul berbeda pada suatu siklus dari \(T\text{.}\) Karena kita dapat berpindah dari \(u\) ke \(v\) dengan mengikuti siklus searah atau berlawanan arah jarum jam, terdapat dua lintasan dari \(u\) ke \(v\text{,}\) yang bertentangan dengan asumsi kita.

Kita telah membuktikan kedua arah, sehingga pembuktian selesai.