Latihan 15.
Meskipun pembuktian di atas tidak berhasil (memang tidak mungkin berhasil karena pernyataan yang hendak dibuktikannya salah!), kita dapat membuktikan sesuatu yang serupa. Buktikan bahwa terdapat barisan bilangan \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) yang naik tegas (bilangan-bilangan itu tidak harus bulat) sedemikian sehingga \(a_n \lt 100\) untuk semua \(n \ge 1\text{.}\) (Yang dimaksud dengan naik tegas adalah \(a_n \lt a_{n+1}\) untuk semua \(n \ge 1\text{.}\) Jadi, setiap suku harus lebih besar daripada suku sebelumnya.)
Petunjuk.
Untuk langkah induksi, Anda dapat mengasumsikan bahwa Anda telah memiliki barisan yang naik tegas hingga \(a_k\text{,}\) dengan \(a_k \lt 100\text{.}\) Sekarang Anda hanya perlu menentukan suku berikutnya, \(a_{k+1}\text{,}\) agar \(a_{k} \lt a_{k+1} \lt 100\text{.}\) Berapakah seharusnya \(a_{k+1}\text{?}\)