Mengapa ini benar? \(\binom{n}{k}\) menghitung banyaknya cara memilih \(k\) benda dari \(n\) pilihan. Di pihak lain, \(\binom{n}{n-k}\) menghitung banyaknya cara memilih \(n-k\) benda dari \(n\) pilihan. Apakah keduanya benar-benar sama? Bagaimana jika, alih-alih memilih \(n-k\) benda untuk disertakan, Anda memilihnya untuk dikecualikan? Ada berapa cara untuk memilih \(n-k\) benda yang akan dikecualikan dari \(n\) pilihan? Jelas jawabannya juga \(\binom{n}{n-k}\) (setelah benda-bendanya dipilih, tidak penting apakah Anda menyertakan atau mengecualikannya). Jika Anda mengecualikan \(n-k\) benda, Anda menyertakan \(k\) benda lainnya. Jadi, himpunan hasilnya sama.

Mari kita gunakan contoh pencacahan pizza seperti di atas. Ada berapa cara untuk memilih \(k\) taburan dari daftar \(n\) pilihan? Di satu pihak, jawabannya langsung \(\binom{n}{k}\text{.}\) Sebagai alternatif, Anda dapat membuat daftar semua taburan yang tidak Anda inginkan. Agar memperoleh pizza dengan tepat \(k\) taburan, Anda perlu memilih \(n-k\) taburan yang tidak akan diletakkan di atas pizza. Terdapat \(\binom{n}{n-k}\) pilihan untuk taburan yang tidak Anda inginkan. Kedua cara tersebut menghasilkan pizza dengan \(k\) taburan, bahkan mencakup semua cara memperoleh pizza dengan \(k\) taburan. Jadi, kedua jawaban ini harus sama: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\text{.}\)

Anda juga dapat membuktikan (menjelaskan) identitas ini dengan menggunakan string bit, subhimpunan, atau lintasan kisi. Argumen string bit cukup menarik: \(\binom{n}{k}\) menghitung banyaknya string bit berpanjang \(n\) dengan \(k\) angka 1. Ini juga merupakan banyaknya string bit berpanjang \(n\) dengan \(k\) angka 0 (cukup ganti setiap angka 1 dengan 0 dan setiap angka 0 dengan 1). Namun, jika string berpanjang \(n\) memiliki \(k\) angka 0, string itu harus memiliki \(n-k\) angka 1. Terdapat tepat \(\binom{n}{n-k}\) string berpanjang \(n\) dengan \(n-k\) angka 1.