Latihan 6. Peneleskopan untuk Menentukan Jumlah.
Konteks lain tempat barisan muncul adalah kalkulus, ketika Anda mempelajari barisan dan deret (istilah dalam kalkulus untuk apa yang kita sebut barisan jumlah parsial). Beberapa teknik yang telah kita kembangkan di sini juga dapat diterapkan dalam konteks tersebut. Ini merupakan contoh jumlah teleskopik, serupa dengan metode teleskopik yang kita gunakan.
Perhatikan barisan \((a_n)_{n \ge 1}\) yang dimulai dengan
\begin{equation*}
\frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{10}, \frac{1}{15}, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Artinya, setiap suku merupakan kebalikan dari bilangan segitiga ke-\(n\text{.}\) Tentukan jumlah \(n\) suku pertama barisan ini:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{T_k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{T_n}\text{.}
\end{equation*}
Petunjuk.
Dengan menggunakan fakta bahwa \(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{,}\) setiap suku dalam barisan adalah \(\frac{2}{n(n+1)}\text{.}\)
Apa hasil pengurangan pecahan berikut: \(\frac{2}{3}- \frac{2}{4}\text{,}\) atau \(\frac{2}{4}-\frac{2}{5}\text{?}\) Apa yang terjadi secara umum?