Contoh 3.3.2.

Berapa banyak string bit berpanjang $7$ dan berbobot $4$ yang diawali dengan $11$ atau diakhiri dengan $00\text{,}$ atau keduanya?

Penyelesaian.

Misalkan $A$ adalah himpunan string bit berpanjang $7$ dan berbobot $4$ yang diawali dengan $11\text{.}$ Kita memiliki $\card{A} = \binom{5}{2} = 10\text{.}$ Misalkan $B$ adalah himpunan string bit berpanjang $7$ dan berbobot $4$ yang diakhiri dengan $00\text{.}$ Kita memiliki $\card{B} = \binom{5}{4} = 5\text{.}$

Namun, tidak benar bahwa $\card{A \cup B} = 10 + 5 = 15\text{,}$ sebab string seperti 1101100 diawali dengan $11$ sekaligus diakhiri dengan $00\text{.}$ String itu termasuk dalam 10 string yang diawali dengan $11$ dan lima string yang diakhiri dengan $00\text{.}$ Kita harus menentukan banyaknya string yang termasuk dalam $A$ sekaligus $B\text{.}$ Kita memiliki

\begin{equation*} \card{A \cap B} = \binom{3}{2} = 3 \end{equation*}

(dan memang terdapat tiga string dalam irisan: 1111000, 1110100, dan 1101100).

Sekarang kita dapat mengisi diagram Venn:

$Dua lingkaran beririsan yang berlabel A dan B. Di dalam daerah yang dibatasi oleh kedua lingkaran terdapat angka 3. Angka 7 berada di daerah di dalam A tetapi di luar B. Angka 2 berada di daerah di dalam B tetapi di luar A.$

Lingkaran untuk $A$ memuat total 10 elemen, yaitu 3 elemen yang juga termasuk dalam $B$ dan 7 elemen lain yang hanya termasuk dalam $A\text{.}$ Lingkaran untuk $B$ memuat total 5 elemen, yaitu 3 elemen yang juga termasuk dalam $A$ dan 2 elemen lain yang hanya termasuk dalam $B\text{.}$ Banyaknya elemen dalam $A \cup B$ adalah jumlah elemen di setiap daerah

\begin{equation*} \card{A \cup B} = 7+3+2 = 12\text{.} \end{equation*}