Contoh 4.1.8.

Gunakan rumus \(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\) dan \(a_n = 2^n\) untuk menentukan rumus tertutup yang sesuai dengan barisan-barisan berikut. Anggap bahwa setiap suku pertama bersesuaian dengan \(n=0\text{.}\)
  1. \((b_n)\text{:}\) \(1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots \text{.}\)
  2. \((c_n)\text{:}\) \(3, 5, 9, 17, 33,\ldots \text{.}\)
  3. \((d_n)\text{:}\) \(0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots \text{.}\)
  4. \((e_n)\text{:}\) \(3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots\text{.}\)
  5. \((f_n)\text{:}\) \(0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots \text{.}\)
  6. \((g_n)\) \(3, 6, 12, 24, 48, \ldots \text{.}\)
  7. \((h_n)\text{:}\) \(6, 10, 18, 34, 66, \ldots \text{.}\)
  8. \((j_n)\text{:}\) \(15, 33, 57, 87, 123, \ldots\text{.}\)
Penyelesaian.
Kita ingin membandingkan barisan-barisan ini dengan bilangan segitiga \((0, 1, 3, 6, 10, 15, 21,\ldots)\) ketika dimulai dengan \(n=0\text{,}\) serta dengan pangkat-pangkat 2: \((1, 2, 4, 8, 16, \ldots)\text{.}\)
  1. \((1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots)\text{.}\) Perhatikan bahwa jika 1 dikurangkan dari setiap suku, kita memperoleh barisan \((T_n)\text{.}\) Jadi, \(b_n = T_n + 1\text{.}\) Dengan demikian, rumus tertutupnya adalah \(b_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1\text{.}\) Pemeriksaan singkat untuk beberapa nilai awal \(n\) menegaskan bahwa rumus ini benar.
  2. \((3, 5, 9, 17, 33, \ldots )\text{.}\) Setiap suku dalam barisan ini satu lebih besar daripada suatu pangkat 2, sehingga kita mungkin menduga rumus tertutupnya adalah \(c_n = a_n+1 = 2^n + 1\text{.}\) Namun, jika dicoba, kita memperoleh \(c_0 = 2^0 + 1 = 2\) dan \(c_1 = 2^1 + 1 = 3\text{.}\) Hasilnya meleset karena indeksnya bergeser. Yang sebenarnya kita perlukan adalah \(c_n = a_{n+1}+1\text{,}\) sehingga \(c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}\)
  3. (\(0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots \)). Perhatikan bahwa semua suku ini genap. Apa yang terjadi jika kita mengeluarkan faktor 2? Kita memperoleh \((T_n)\text{!}\) Lebih tepatnya, \(d_n/2 = T_n\text{,}\) sehingga barisan ini mempunyai rumus tertutup \(d_n = n(n+1)\text{.}\)
  4. \((3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots)\text{.}\) Semua suku ini merupakan bilangan segitiga. Namun, kita memulai dengan 3 sebagai suku awal, bukan sebagai suku ketiga. Jadi, jika kita dapat menyubstitusikan 2 alih-alih 0 ke dalam rumus \(T_n\text{,}\) persoalannya selesai. Oleh karena itu, rumus tertutupnya adalah \(e_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}\) (dengan \(n+3\) berasal dari \((n+2)+1\)). Jika barisan dipandang sebagai fungsi, kita melakukan pergeseran horizontal sebesar 2: \(e_n = T_{n+2}\text{,}\) yang menyebabkan grafik bergeser 2 satuan ke kiri.
  5. \((0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots )\text{.}\) Coba tambahkan 1 pada setiap suku; kita memperoleh pangkat-pangkat 2. Anda mungkin menduga hal ini karena setiap suku sedikit lebih besar daripada dua kali suku sebelumnya (sedangkan setiap pangkat 2 tepat dua kali suku sebelumnya). Rumus tertutupnya: \(f_n = 2^{n} - 1\text{.}\)
  6. \((3, 6, 12, 24, 48, \ldots )\text{.}\) Bilangan-bilangan ini juga berlipat dua setiap kali, dan semuanya merupakan kelipatan 3. Membagi setiap bilangan dengan 3 menghasilkan 1, 2, 4, 8, …. Nah! Kita memperoleh rumus tertutup \(g_n = 3\cdot 2^{n}\text{.}\)
  7. \((6, 10, 18, 34, 66, \ldots )\text{.}\) Dari satu suku ke suku berikutnya, kita hampir menggandakan setiap suku. Jadi, mungkin barisan ini dapat kita kaitkan kembali dengan \(2^n\text{.}\) Benar, setiap suku 2 lebih besar daripada suatu pangkat 2. Dengan demikian, kita memperoleh \(h_n = 2^{n+2} + 2\) (\(n+2\) muncul karena suku pertama 2 lebih besar daripada \(2^2\text{,}\) bukan \(2^0\)). Sebagai alternatif, kita dapat mengaitkan barisan ini dengan barisan kedua dalam contoh ini: mulai dari 3, 5, 9, 17, …, tampak bahwa setiap suku barisan ini dua kali suku barisan tersebut. Barisan itu mempunyai rumus tertutup \(c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}\) Karena barisan kita dua kali barisan tersebut, \(h_n = 2(2^{n+1} + 1)\text{,}\) yang sama dengan hasil sebelumnya.
  8. \((15, 33, 57, 87, 123, \ldots)\text{.}\) Coba bagi setiap suku dengan 3. Hasilnya adalah barisan \(5, 11, 19, 29, 41,\ldots\text{.}\) Sekarang tambahkan 1 pada setiap suku: \(6, 12, 20, 30, 42, \ldots\text{,}\) yaitu \((d_n)\) dalam contoh ini, tetapi dimulai dengan 6 alih-alih 0. Jadi, mari mulai dengan rumus \(d_n= n(n+1)\text{.}\) Agar dimulai dengan 6, kita menggesernya menjadi \((n+2)(n+3)\text{.}\) Namun, nilai ini lebih besar satu, sehingga kita kurangi 1: \((n+2)(n+3) - 1\text{.}\) Hasil tersebut merupakan barisan kita yang dibagi 3. Jadi, kita menginginkan \(j_n = 3((n+2)(n+3) - 1)\text{.}\)
dalam konteks