Contoh 4.1.5.
Berikut beberapa rumus tertutup untuk barisan:
-
\(a_n = n^2\text{.}\)
-
\(\d a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}\)
-
\(\d a_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^{n}}{\sqrt{5}}\text{.}\)
Perhatikan bahwa pada setiap rumus, jika \(n\) diberikan, Anda dapat menghitung \(a_n\) secara langsung: cukup substitusikan \(n\text{.}\) Sebagai contoh, untuk menentukan \(a_3\) pada barisan kedua, cukup hitung \(a_3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6\text{.}\)
Berikut beberapa definisi rekursif untuk barisan:
-
\(a_n = 2a_{n-1}\) dengan \(a_0 = 1\text{.}\)
-
\(a_n = 2a_{n-1}\) dengan \(a_0 = 27\text{.}\)
-
\(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\) dengan \(a_0 = 0\) dan \(a_1 = 1\text{.}\)
Dalam rumus-rumus ini, jika \(n\) diberikan, Anda tidak dapat menghitung \(a_n\) secara langsung; terlebih dahulu Anda perlu menentukan \(a_{n-1}\) (atau \(a_{n-1}\) dan \(a_{n-2}\)). Pada barisan kedua, untuk menentukan \(a_3\) Anda perlu menghitung \(2a_2\text{,}\) tetapi untuk menentukan \(a_2 = 2a_1\) kita perlu mengetahui \(a_1 = 2a_0\text{.}\) Nilai ini kita ketahui, sehingga kita dapat menelusuri persamaan-persamaan tersebut untuk memperoleh \(a_1 = 54\text{,}\) \(a_2 = 108\text{,}\) dan akhirnya \(a_3 = 216\text{.}\)