Contoh 3.4.10.

Anda memutuskan untuk mengadakan jamuan makan malam. Meskipun Anda sangat populer dan memiliki 14 teman berbeda, kursi yang tersedia hanya cukup untuk mengundang 6 di antaranya.
  1. Berapa banyak pilihan untuk menentukan 6 teman yang akan diundang?
  2. Bagaimana jika Anda tidak hanya perlu menentukan teman-teman yang akan diundang, tetapi juga tempat duduk mereka di sepanjang meja panjang? Berapa banyak pilihan yang Anda miliki sekarang?
Penyelesaian.
  1. Anda cukup memilih 6 teman dari kelompok berisi 14 orang. Ini dapat dilakukan dengan \(\binom{14}{6}\) cara. Kita dapat memperoleh bilangan ini menggunakan segitiga Pascal atau rumus tertutup: \(\frac{14!}{8!\cdot 6!} = 3003\text{.}\)
  2. Di sini Anda harus menghitung semua cara mempermutasikan 6 teman yang dipilih dari kelompok berisi 14 orang. Jadi, jawabannya adalah \(P(14, 6)\text{,}\) yang dapat dihitung sebagai \(\frac{14!}{8!} = 2162160\text{.}\)
    Perhatikan bahwa kita dapat memandang masalah pencacahan ini sebagai pertanyaan tentang pencacahan fungsi: Berapa banyak fungsi injektif dari himpunan 6 kursi ke himpunan 14 teman Anda (fungsi-fungsi tersebut injektif karena satu kursi tidak dapat diberikan kepada dua teman sekaligus).
Bagaimana hubungan antara bilangan-bilangan ini? Perhatikan bahwa \(P(14,6)\) jauh lebih besar daripada \(\binom{14}{6}\text{.}\) Hal ini masuk akal. \(\binom{14}{6}\) memilih 6 teman, sedangkan \(P(14,6)\) memilih sekaligus menyusun keenam teman tersebut. Bahkan, kita dapat mengatakan secara tepat seberapa besar \(P(14,6)\) dibandingkan dengan banyaknya kombinasi. Dalam kedua masalah pencacahan, kita memilih 6 dari 14 teman. Untuk masalah pertama, kita berhenti di sana, pada 3003 cara. Namun, untuk masalah pencacahan kedua, masing-masing dari 3003 pilihan 6 teman dapat disusun dengan tepat \(6!\) cara. Jadi, sekarang kita memiliki \(3003\cdot 6!\) pilihan, dan nilainya tepat \(2162160\text{.}\)
Sebagai alternatif, pandanglah masalah pertama dengan cara lain. Kita ingin memilih 6 dari 14 teman, tetapi kita tidak memedulikan urutan pemilihannya. Untuk memilih 6 dari 14 teman, kita mungkin mencoba perhitungan berikut:
\begin{equation*} 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \text{.} \end{equation*}
Dugaan ini wajar, karena kita memiliki 14 pilihan untuk tamu pertama, lalu 13 untuk tamu kedua, dan seterusnya. Namun, dugaan ini salah (sebenarnya, hasil kali tersebut tepat sama dengan \(2162160 = P(14,6)\)). Perhitungan itu membedakan urutan-urutan berbeda dalam mengundang para tamu. Untuk memperbaikinya, kita dapat membagi dengan banyaknya susunan berbeda dari 6 tamu (sehingga semua susunan ini dihitung sebagai satu hasil saja). Terdapat tepat \(6!\) cara untuk menyusun 6 tamu, sehingga jawaban yang benar untuk pertanyaan pertama adalah
\begin{equation*} \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11\cdot 10 \cdot 9}{6!} \text{.} \end{equation*}
Perhatikan bahwa cara lain untuk menuliskannya adalah
\begin{equation*} \frac{14!}{8!\cdot 6!}\text{.} \end{equation*}
yang sama dengan hasil awal kita.
dalam konteks