Kuantor Implisit.
Bersikap presisi dalam matematika selalu merupakan gagasan yang baik. Namun, kadang-kadang kita dapat sedikit longgar selama kita semua menyepakati suatu konvensi. Salah satu contoh konvensi semacam itu adalah menganggap bahwa kalimat yang memuat predikat dengan variabel bebas dimaksudkan sebagai pernyataan, dengan variabel-variabel tersebut diberi kuantor universal.
Sebagai contoh, apakah Anda percaya bahwa jika suatu bangun merupakan persegi, maka bangun itu merupakan persegi panjang? Namun, bagaimana kalimat itu dapat benar jika bukan pernyataan? Agar sedikit lebih presisi, kita memiliki dua predikat: \(S(x)\) untuk “\(x\) adalah persegi” dan \(R(x)\) untuk “\(x\) adalah persegi panjang”. Kalimat yang sedang kita tinjau adalah
\begin{equation*}
S(x) \imp R(x)\text{.}
\end{equation*}
Kalimat ini tidak benar maupun salah karena bukan merupakan pernyataan. Namun, ayolah! Kita semua tahu bahwa yang kita maksud adalah pernyataan,
\begin{equation*}
\forall x (S(x) \imp R(x))\text{,}
\end{equation*}
dan inilah yang menurut konvensi kita perlu dipertimbangkan. Pernyataan yang dihasilkan disebut generalisasi universal dari kalimat semula.
Definisi 1.1.14.
Untuk suatu kalimat dengan variabel bebas, generalisasi universal kalimat tersebut adalah pernyataan yang diperoleh dengan menambahkan kuantor universal secukupnya pada awal kalimat sehingga semua variabel bebas menjadi terikat.
Demikian pula, kita akan sering sedikit longgar dalam membedakan predikat dan pernyataan. Sebagai contoh, kita mungkin menulis, misalkan \(P(n)\) adalah pernyataan “\(n\) adalah bilangan prima”, yang secara teknis tidak tepat. Secara implisit, yang kita maksud adalah mendefinisikan \(P(n)\) sebagai predikat yang untuk setiap \(n\) menjadi pernyataan \(n\) adalah bilangan prima.