Latihan 12.

Pada waktu senggang, para bajak laut hantu gemar menumpuk peluru meriam menjadi piramida beralas segitiga (atau tetrahedron), seperti yang digambarkan di sini:
Sebuah lingkaran berarsir yang dimaksudkan untuk melambangkan peluru meriam.
Empat lingkaran bertumpang tindih yang menggambarkan tumpukan peluru meriam: tiga peluru membentuk lapisan segitiga dan satu peluru berada di atasnya.
Lingkaran-lingkaran bertumpang tindih yang menggambarkan tetrahedron tiga dimensi dari peluru: segitiga berisi 6 peluru menopang segitiga berisi 3 peluru, dengan satu peluru berada paling atas.
Catatan: Tetrahedron ini padat, sehingga ada beberapa peluru meriam yang terhalang dari pandangan (misalnya, gambar di sebelah kanan memiliki satu peluru meriam di belakang yang tidak terlihat pada gambar).
Para bajak laut ingin mengetahui jumlah peluru meriam yang diperlukan untuk membangun piramida setinggi 15 lapisan (dan dengan demikian memecahkan rekor dunia penumpukan peluru meriam). Dapatkah Anda membantu mereka?
  1. Misalkan \(P(n)\) menyatakan jumlah peluru meriam yang diperlukan untuk membuat piramida setinggi \(n\) lapisan. Jadi, \(P(1) = 1\text{,}\) \(P(2) = 4\text{,}\) dan seterusnya. Hitung \(P(3)\text{,}\) \(P(4)\text{,}\) dan \(P(5)\text{.}\)
  2. Gunakan pencocokan polinomial untuk menemukan rumus tertutup \(P(n)\text{.}\) Tunjukkan langkah-langkah Anda.
  3. Jawablah pertanyaan para bajak laut: berapa banyak peluru meriam yang mereka perlukan untuk membuat piramida setinggi 15 lapisan?
  4. Bonus: Temukan barisan ini dalam segitiga Pascal. Mengapa hasil tersebut masuk akal?
dalam konteks