Latihan 24.
Misalkan \(f_1, f_2, \ldots, f_n\) adalah fungsi-fungsi terdiferensialkan. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan aturan hasil kali umum:
\begin{equation*}
(f_1 f_2 f_3 \cdots f_n)' = f_1' f_2 f_3 \cdots f_n + f_1 f_2' f_3 \cdots f_n + f_1 f_2 f_3' \cdots f_n + \cdots + f_1 f_2 f_3 \cdots f_n'\text{.}
\end{equation*}
Anda boleh mengasumsikan bahwa aturan hasil kali untuk dua fungsi berlaku.
Petunjuk.
Untuk langkah induksi, berdasarkan aturan hasil kali untuk dua fungsi, kita mengetahui bahwa
\begin{equation*}
(f_1f_2f_3 \cdots f_k f_{k+1})' = (f_1f_2f_3\cdots f_k)'f_{k+1} + (f_1f_2f_3\cdots f_k)f_{k+1}'\text{.}
\end{equation*}
Kemudian gunakan hipotesis induksi pada suku pertama, lalu terapkan sifat distributif.