Latihan 3.
Misalkan \(d_n\) adalah banyaknya permutasi tanpa titik tetap dari \(n\) objek. Sebagai contoh, dengan menggunakan teknik dalam bagian ini, kita memperoleh
\begin{equation*}
d_3 = 3!-\left({3 \choose 1}2! - {3 \choose 2}1! + {3 \choose 3}0! \right)\text{.}
\end{equation*}
Kita dapat menggunakan rumus \({n \choose k}\) untuk menuliskan semuanya dalam bentuk faktorial. Setelah disederhanakan, untuk \(d_3\) kita memperoleh
\begin{equation*}
d_3 = 3!\left(1 - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)\text{.}
\end{equation*}
Generalisasikan hasil ini untuk memperoleh rumus yang lebih sederhana bagi \(d_n\text{.}\) Bonus: Untuk \(n\) yang besar, kira-kira berapa proporsi di antara semua permutasi yang tidak memiliki titik tetap? Gunakan pengetahuan Anda tentang deret Taylor dari kalkulus.