Contoh 3.5.6.

Ada berapa solusi bilangan bulat untuk persamaan
\begin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 13\text{.} \end{equation*}
(Solusi bilangan bulat suatu persamaan adalah solusi yang peubah takdiketahuinya harus bernilai bilangan bulat.)
  1. dengan \(x_i \ge 0\) untuk setiap \(x_i\text{?}\)
  2. dengan \(x_i > 0\) untuk setiap \(x_i\text{?}\)
  3. dengan \(x_i \ge 2\) untuk setiap \(x_i\text{?}\)
Penyelesaian.
Masalah ini sama seperti memberikan 13 kue kepada 5 anak. Kita perlu menentukan berapa dari 13 satuan yang diberikan kepada masing-masing dari 5 variabel. Dengan kata lain, kita memiliki 13 batu dan 4 batang (batang berperan seperti tanda “+” dalam persamaan).
  1. Jika \(x_i\) dapat bernilai 0 atau lebih, kita berada dalam kasus standar tanpa batasan. Jadi, 13 batu dan 4 batang dapat disusun dalam \({17 \choose 4}\) cara.
  2. Sekarang setiap variabel harus bernilai sedikitnya 1. Jadi, berikan satu satuan kepada setiap variabel untuk memenuhi batasan tersebut. Kini tersisa 8 batu dan masih ada 4 batang, sehingga banyaknya solusi adalah \({12 \choose 4}\text{.}\)
  3. Sekarang setiap variabel harus bernilai 2 atau lebih. Jadi, sebelum melakukan pencacahan, berikan 2 satuan kepada setiap variabel. Kini kita memiliki 3 batu yang tersisa dan 4 batang, sehingga terdapat \({7 \choose 4}\) solusi.
dalam konteks