Contoh 3.4.3. Mencacah Fungsi Bijektif.
Berapa banyak fungsi \(f:\{1,2,\ldots,8\} \to \{1,2,\ldots, 8\}\) yang bijektif?
Penyelesaian.
Ingat kembali arti fungsi bijektif: Setiap elemen dalam kodomain harus menjadi citra dari tepat satu elemen domain. Dengan menggunakan notasi dua baris, kita dapat menuliskan salah satu bijeksi ini sebagai
\begin{equation*}
f = \twoline{1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \amp 5 \amp 6 \amp 7 \amp 8} {3 \amp 1 \amp 5 \amp 8
\amp 7 \amp 6 \amp 2 \amp 4}\text{.}
\end{equation*}
Yang sebenarnya kita lakukan hanyalah menyusun ulang elemen-elemen kodomain, sehingga kita membentuk suatu permutasi 8 elemen. Bahkan, “permutasi” merupakan istilah lain yang digunakan untuk menyebut fungsi bijektif dari suatu himpunan hingga ke dirinya sendiri.
Jika Anda menerima penalaran ini, maka Anda melihat bahwa jawabannya haruslah \(8! = 8 \cdot 7 \cdot\cdots\cdot 1 = 40320\text{.}\) Kita juga dapat melihatnya secara langsung: untuk setiap elemen domain, kita harus memilih elemen kodomain yang berbeda sebagai petanya. Terdapat 8 pilihan untuk memetakan 1, lalu 7 pilihan untuk memetakan 2, dan seterusnya. Kita mengalikannya dengan menggunakan prinsip perkalian.