Contoh 4.1.9.
Sam mencatat banyaknya push-up yang ia lakukan setiap hari dalam “tantangan melakukan banyak push-up”. Misalkan \((a_n)_{n \ge 1}\) adalah barisan yang menyatakan banyaknya push-up yang dilakukan pada hari ke-\(n\) dalam tantangan tersebut. Barisan itu dimulai dengan
\begin{equation*}
3, 5, 6, 10, 9, 0, 12, \ldots\text{.}
\end{equation*}
Deskripsikan barisan \((b_n)_{n \ge 1}\) yang menyatakan jumlah total push-up yang dilakukan Sam hingga akhir hari ke-\(n\text{.}\)
Penyelesaian.
Kita dapat menentukan suku-suku barisan ini dengan mudah.
\begin{equation*}
3, 8, 14, 24, 33, 33, 45,\ldots\text{.}
\end{equation*}
Di sini \(b_1\) sama dengan \(a_1\text{,}\) kemudian
\begin{equation*}
b_2 = 3+5 = a_1 + a_2\text{,}
\end{equation*}
\begin{equation*}
b_3 = 3+5+6 = a_1 + a_2 + a_3\text{,}
\end{equation*}
dan seterusnya.
Ada beberapa cara untuk mendeskripsikan \(b_n\) secara umum. Kita dapat mendeskripsikannya secara rekursif sebagai
\begin{equation*}
b_n = b_{n-1} + a_n\text{,}
\end{equation*}
sebab jumlah total push-up yang dilakukan setelah \(n\) hari sama dengan jumlah setelah \(n-1\) hari ditambah jumlah yang dilakukan pada hari ke-\(n\text{.}\)
Untuk memperoleh bentuk yang lebih mendekati rumus tertutup, kita dapat menulis
\begin{equation*}
b_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n\text{,}
\end{equation*}
atau hal yang sama dengan menggunakan notasi penjumlahan:
\begin{equation*}
b_n = \sum_{i=1}^n a_i\text{.}
\end{equation*}
Namun, perhatikan bahwa bentuk-bentuk ini sebenarnya bukan rumus tertutup. Meskipun kita mempunyai rumus untuk \(a_n\text{,}\) banyaknya perhitungan yang harus dilakukan tetap bertambah ketika \(n\) bertambah.