Contoh 4.3.3.
Gunakan jumlah parsial untuk menemukan rumus tertutup bagi \((a_n)_{n\ge 0}\) yang diawali dengan \(2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots \ldots\text{.}\) Anggap salah satu relasi rekurensi barisan tersebut adalah \(a_n = a_{n-1} + 3n-2\text{.}\)
Penyelesaian.
Pertama, jika kita memperhatikan selisih antarsuku, kita memperoleh barisan selisih \((d_n)_{n \ge 1}\text{:}\) \(1,4,7,10,13, \ldots\text{,}\) yang merupakan barisan aritmetika. Memang, kita melihat bahwa \(d_n = 3n-2\text{,}\) sesuai dengan relasi rekurensinya. Dengan cara lain, kita dapat menuliskannya sebagai berikut:
\begin{align*}
a_0 \amp = 2\\
a_1 \amp = 2+1 = 2 + d_1\\
a_2 \amp = 2+1+4 = 2 + d_1 + d_2\\
a_3 \amp = 2+1+4+7 = 2 + d_1 + d_2 + d_3
\end{align*}
dan seterusnya. Kita dapat menuliskan suku umum \((a_n)\) berdasarkan barisan aritmetika tersebut sebagai berikut:
\begin{equation*}
a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 + \cdots + 3n-2\text{.}
\end{equation*}
Kita dapat membalikkan urutan dan menjumlahkannya, tetapi angka 2 pada awal barisan tidak mengikuti pola tersebut. Artinya, kita perlu mempertahankan angka 2 di luar bagian yang dibalik:
| \(a_n =\) | \(2\) | \(+\) | \(1\) | \(+\) | \(4\) | \(+ \cdots +\) | \(3n-2\) |
| \(+ \quad a_n =\) | \(2\) | \(+\) | \(3n-2\) | \(+\) | \(3(n-1)-2\) | \(+ \cdots +\) | \(1\) |
| \(2a_n =\) | \(4\) | \(+\) | \(2+3n-3\) | \(+\) | \(2+3n-3\) | \(+ \cdots +\) | \(2+3n-3\) |
Jika suku pertama (yaitu 4) tidak dihitung, terdapat \(n\) komponen penjumlahan yang masing-masing bernilai \(2+3n-3 = 3n-1\text{,}\) sehingga ruas kanan menjadi \(4+(3n-1)n\text{.}\)
Terakhir, dengan menyelesaikan persamaan untuk \(a_n\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*}
a_n = \d \frac{4+(3n-1)n}{2}\text{.}
\end{equation*}
Untuk memastikan hasilnya, kita periksa \(a_0 = \frac{4}{2} = 2\text{,}\) \(a_1 = \frac{4+2}{2} = 3\text{,}\) dan seterusnya. Jadi, rumus tertutup kita benar.