Latihan 15. Transformasi Linear.

Misalkan \(V\) dan \(W\) adalah ruang vektor atas suatu lapangan \(F\text{,}\) yang masing-masing berdimensi \(m\) dan \(n\text{.}\) Jika \(T: V \rightarrow W\) adalah pemetaan yang memenuhi
\begin{align*} T( u+ v ) & = T(u ) + T(v)\\ T( \alpha v ) & = \alpha T(v) \end{align*}
untuk setiap \(\alpha \in F\) dan setiap \(u, v \in V\text{,}\) maka \(T\) disebut transformasi linear dari \(V\) ke \(W\text{.}\)
  1. Buktikan bahwa kernel \(T\text{,}\) \(\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}\) merupakan subruang dari \(V\text{.}\) Kernel \(T\) kadang-kadang disebut ruang nol \(T\text{.}\)
  2. Buktikan bahwa citra atau ruang citra \(T\text{,}\) \(R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ untuk suatu } v \in V \}\text{,}\) merupakan subruang dari \(W\text{.}\)
  3. Tunjukkan bahwa \(T : V \rightarrow W\) injektif jika dan hanya jika \(\ker(T) = \{ \mathbf 0 \}\text{.}\)
  4. Misalkan \(\{ v_1, \ldots, v_k \}\) adalah basis bagi ruang nol \(T\text{.}\) Kita dapat memperluas basis ini menjadi basis \(\{ v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}\) bagi \(V\text{.}\) Mengapa? Buktikan bahwa \(\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}\) merupakan basis bagi citra \(T\text{.}\) Simpulkan bahwa citra \(T\) berdimensi \(m - k\text{.}\)
  5. Misalkan \(\dim V = \dim W\text{.}\) Tunjukkan bahwa transformasi linear \(T : V \rightarrow W\) injektif jika dan hanya jika surjektif.
Petunjuk.
(a) Misalkan \(u, v \in \ker(T)\) dan \(\alpha \in F\text{.}\) Maka
\begin{gather*} T(u +v) = T(u) + T(v) = 0\\ T(\alpha v) = \alpha T(v) = \alpha 0 = 0\text{.} \end{gather*}
Oleh karena itu, \(u + v, \alpha v \in \ker(T)\text{,}\) dan \(\ker(T)\) merupakan subruang dari \(V\text{.}\)
(c) Pernyataan \(T(u) = T(v)\) ekuivalen dengan \(T(u-v) = T(u) - T(v) = 0\text{,}\) yang benar jika dan hanya jika \(u-v = 0\) atau \(u = v\text{.}\)
Dalam Konteks