Misalkan \(P\) subgrup Sylow-\(p\) yang beraksi pada himpunan subgrup Sylow-\(p\text{,}\)
\begin{equation*}
{\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \}\text{,}
\end{equation*}
melalui konjugasi. Dari pembuktian Teorema Sylow Kedua, satu-satunya konjugat-\(P\) dari \(P\) adalah dirinya sendiri dan orde kelas-kelas konjugasi-\(P\) lainnya merupakan suatu pangkat dari \(p\text{.}\) Setiap kelas konjugasi-\(P\) menyumbangkan suatu pangkat positif dari \(p\) terhadap \(|{\mathcal S}|\text{,}\) kecuali kelas ekuivalensi \(\{ P \}\text{.}\) Karena \(|{\mathcal S}|\) merupakan jumlah beberapa pangkat positif dari \(p\) dan \(1\text{,}\) \(|{\mathcal S}| \equiv 1 \pmod{p}\text{.}\)
Sekarang andaikan \(G\) beraksi pada \({\mathcal S}\) melalui konjugasi. Karena semua subgrup Sylow-\(p\) saling konjugat, hanya ada satu orbit di bawah aksi ini. Untuk \(P \in {\mathcal S}\text{,}\)
\begin{equation*}
|{\mathcal S}| = |\text{orbit dari }P| = [G : N(P)]
\end{equation*}
berdasarkan
Lema 15.1.6. Namun,
\([G : N(P)]\) membagi
\(|G|\text{;}\) akibatnya, banyaknya subgrup Sylow-
\(p\) dari suatu grup hingga harus membagi orde grup tersebut.