Misalkan \(P\) subgrup Sylow-\(p\) dari \(G\) dan andaikan \(|G|=p^r m\) dengan \(|P|=p^r\text{.}\) Misalkan
\begin{equation*}
{\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \}
\end{equation*}
terdiri atas konjugat-konjugat berbeda dari
\(P\) di
\(G\text{.}\) Berdasarkan
Lema 15.1.6,
\(k = [G: N(P)]\text{.}\) Perhatikan bahwa
\begin{equation*}
|G|= p^r m = |N(P)| \cdot [G: N(P)]= |N(P)| \cdot k\text{.}
\end{equation*}
Karena \(p^r\) membagi \(|N(P)|\text{,}\) \(p\) tidak mungkin membagi \(k\text{.}\)
Diberikan sebarang subgrup Sylow-
\(p\) lain
\(Q\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa
\(Q \in {\mathcal S}\text{.}\) Tinjau kelas konjugasi-
\(Q\) dari setiap
\(P_i\text{.}\) Jelas bahwa kelas-kelas konjugasi ini mempartisi
\({\mathcal S}\text{.}\) Ukuran bagian yang memuat
\(P_i\) adalah
\([Q :N(P_i) \cap Q]\) berdasarkan
Lema 15.1.6, dan Teorema Lagrange menyatakan bahwa
\(|Q| = [Q :N(P_i) \cap Q] |N(P_i) \cap Q|\text{.}\) Jadi,
\([Q :N(P_i) \cap Q]\) harus membagi
\(|Q|= p^r\text{.}\) Dengan demikian, banyaknya konjugat dalam setiap kelas ekuivalensi pada partisi tersebut merupakan suatu pangkat dari
\(p\text{.}\) Namun, karena
\(p\) tidak membagi
\(k\text{,}\) salah satu kelas ekuivalensi ini harus hanya memuat satu subgrup Sylow-
\(p\text{,}\) misalkan
\(P_j\text{.}\) Dalam hal ini,
\(x^{-1} P_j x = P_j\) untuk setiap
\(x \in Q\text{.}\) Berdasarkan
Lema 15.1.5,
\(P_j = Q\text{.}\)