Kita mengetahui bahwa \(G\) memuat subgrup \(H\) berorde \(q\text{.}\) Banyaknya konjugat dari \(H\) membagi \(pq\) dan sama dengan \(1 + kq\) untuk \(k = 0, 1, \ldots\text{.}\) Namun, \(1 + q\) sudah terlalu besar untuk membagi orde grup; karena itu, \(H\) hanya dapat konjugat dengan dirinya sendiri. Artinya, \(H\) harus normal di \(G\text{.}\)

Grup \(G\) juga memiliki subgrup Sylow-\(p\text{,}\) misalkan \(K\text{.}\) Banyaknya konjugat dari \(K\) harus membagi \(q\) dan sama dengan \(1 + kp\) untuk \(k = 0, 1, \ldots\text{.}\) Karena \(q\) prima, berlaku salah satu dari \(1 + kp = q\) atau \(1 + kp = 1\text{.}\) Jika \(1 + kp = 1\text{,}\) maka \(K\) normal di \(G\text{.}\) Dalam kasus ini, mudah ditunjukkan bahwa \(G\) memenuhi kriteria, yang diberikan dalam Bab 9, bagi hasil kali langsung internal dari \(H\) dan \(K\text{.}\) Karena \(H\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_q\) dan \(K\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_p\text{,}\) \(G \cong {\mathbb Z}_p \times {\mathbb Z}_q \cong {\mathbb Z}_{pq}\) berdasarkan Teorema 9.2.9.