Ingat bahwa
\begin{equation*}
HK = \{ hk : h \in H, k \in K \}\text{.}
\end{equation*}
Tentu saja, \(|HK| \leq |H| \cdot |K|\) karena suatu elemen dalam \(HK\) mungkin dapat ditulis sebagai hasil kali elemen-elemen berbeda dari \(H\) dan \(K\text{.}\) Sangat mungkin bahwa \(h_1 k_1 = h_2 k_2\) untuk \(h_1, h_2 \in H\) dan \(k_1, k_2 \in K\text{.}\) Jika demikian, misalkan
\begin{equation*}
a = (h_1)^{-1} h_2 = k_1 (k_2)^{-1}\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa \(a \in H \cap K\text{,}\) karena \((h_1)^{-1} h_2\) berada dalam \(H\) dan \(k_2 (k_1)^{-1}\) berada dalam \(K\text{;}\) akibatnya,
\begin{align*}
h_2 & = h_1 a^{-1}\\
k_2 & = a k_1\text{.}
\end{align*}
Sebaliknya, misalkan \(h = h_1 b^{-1}\) dan \(k = b k_1\) untuk \(b \in H \cap K\text{.}\) Maka \(h k = h_1 k_1\text{,}\) dengan \(h \in H\) dan \(k \in K\text{.}\) Jadi, sebarang elemen \(hk \in HK\) dapat ditulis dalam bentuk \(h_i k_i\) untuk \(h_i \in H\) dan \(k_i \in K\text{,}\) sebanyak jumlah elemen dalam \(H \cap K\text{;}\) yaitu sebanyak \(|H \cap K|\) kali. Oleh karena itu, \(|HK| = (|H| \cdot |K|)/|H \cap K|\text{.}\)