Sekarang kita akan menunjukkan bahwa setiap grup berorde \(5 \cdot 7 \cdot 47 = 1645\) bersifat abelian, dan bersifat siklik berdasarkan Teorema 9.2.9. Menurut Teorema Sylow Ketiga, \(G\) hanya memiliki satu subgrup \(H_1\) berorde \(47\text{.}\) Jadi, \(G/H_1\) berorde \(35\) dan harus abelian berdasarkan Teorema 15.2.2. Karena itu, subgrup komutator dari \(G\) termuat dalam \(H\text{,}\) sehingga \(|G'|\) sama dengan \(1\) atau \(47\text{.}\) Jika \(|G'|=1\text{,}\) pembuktian selesai. Andaikan \(|G'|=47\text{.}\) Teorema Sylow Ketiga menyatakan bahwa \(G\) hanya memiliki satu subgrup berorde \(5\) dan satu subgrup berorde \(7\text{.}\) Jadi, terdapat subgrup normal \(H_2\) dan \(H_3\) di \(G\text{,}\) dengan \(|H_2| = 5\) dan \(|H_3| = 7\text{.}\) Dalam kedua kasus, grup hasil baginya abelian; karena itu, \(G'\) harus merupakan subgrup dari \(H_i\text{,}\) \(i= 1, 2\text{.}\) Dengan demikian, orde \(G'\) adalah \(1\text{,}\) \(5\text{,}\) atau \(7\text{.}\) Namun, sebelumnya kita telah menentukan bahwa \(|G'| =1\) atau \(47\text{.}\) Jadi, subgrup komutator dari \(G\) trivial, dan akibatnya \(G\) abelian.