Contoh 15.2.11.
Untuk menunjukkan bahwa grup \(G\) berorde \(48\) tidak sederhana, kita akan menunjukkan bahwa \(G\) memuat subgrup normal berorde \(8\) atau subgrup normal berorde \(16\text{.}\) Berdasarkan Teorema Sylow Ketiga, \(G\) memiliki satu atau tiga subgrup Sylow-\(2\) berorde \(16\text{.}\) Jika hanya ada satu subgrup, maka subgrup itu harus normal.
Andaikan kasus lainnya berlaku, dan dua dari ketiga subgrup Sylow-\(2\) itu adalah \(H\) dan \(K\text{.}\) Kita mengklaim bahwa \(|H \cap K| = 8\text{.}\) Jika \(|H \cap K| \leq 4\text{,}\) maka berdasarkan Lema 15.2.10,
\begin{equation*}
|HK| \geq \frac{16 \cdot 16}{4} =64\text{,}
\end{equation*}
yang mustahil. Perhatikan bahwa \(H \cap K\) berindeks dua dalam \(H\) maupun \(K\text{,}\) sehingga normal di keduanya, dan dengan demikian \(H\) serta \(K\) masing-masing termuat dalam penormal \(H \cap K\text{.}\) Karena \(H\) merupakan subgrup dari \(N(H \cap K)\) dan karena \(N(H \cap K)\) memiliki lebih dari \(16\) elemen, \(|N(H \cap K)|\) harus merupakan kelipatan \(16\) yang lebih besar dari \(1\text{,}\) sekaligus membagi \(48\text{.}\) Satu-satunya kemungkinan adalah \(|N(H \cap K)|= 48\text{.}\) Jadi, \(N(H \cap K) = G\text{.}\)