Berdasarkan
Lema 13.1.7, kita dapat mengandaikan bahwa orde
\(G\) adalah
\(p^n\text{.}\) Kita akan melakukan induksi pada
\(n\text{.}\) Jika
\(n= 1\text{,}\) maka
\(G\) siklik berorde
\(p\) dan harus dibangkitkan oleh
\(g\text{.}\) Sekarang andaikan bahwa pernyataan lema berlaku untuk semua bilangan bulat
\(k\) dengan
\(1 \leq k \lt n\text{,}\) dan misalkan
\(g\) memiliki orde maksimum dalam
\(G\text{,}\) katakanlah
\(|g| = p^{m}\text{.}\) Maka
\(a^{p^m} = e\) untuk semua
\(a \in G\text{.}\) Sekarang pilih
\(h\) dalam
\(G\) sedemikian sehingga
\(h \notin \langle g \rangle\text{,}\) dengan
\(h\) memiliki orde sekecil mungkin. Elemen
\(h\) semacam itu tentu ada; jika tidak,
\(G = \langle g \rangle\) dan pembuktian selesai. Misalkan
\(H = \langle h \rangle\text{.}\)
Kita menyatakan bahwa \(\langle g \rangle \cap H = \{ e \}\text{.}\) Cukup ditunjukkan bahwa \(|H|=p\text{.}\) Karena \(|h^p| = |h| / p\text{,}\) orde \(h^p\) lebih kecil daripada orde \(h\) dan harus berada dalam \(\langle g \rangle\) berdasarkan minimalitas \(h\text{;}\) yaitu, \(h^p = g^r\) untuk suatu bilangan \(r\text{.}\) Dengan demikian,
\begin{equation*}
(g^r)^{p^{m - 1}} = (h^p)^{p^{m - 1}} = h^{p^{m}} = e\text{,}
\end{equation*}
dan orde \(g^r\) harus kurang dari atau sama dengan \(p^{m-1}\text{.}\) Oleh karena itu, \(g^r\) tidak dapat membangkitkan \(\langle g \rangle\text{.}\) Perhatikan bahwa \(p\) harus merupakan faktor dari \(r\text{,}\) katakanlah \(r = ps\text{,}\) dan \(h^p = g^r = g^{ps}\text{.}\) Definisikan \(a\) sebagai \(g^{-s}h\text{.}\) Maka \(a\) tidak mungkin berada dalam \(\langle g \rangle\text{;}\) jika tidak, \(h\) juga harus berada dalam \(\langle g \rangle\text{.}\) Selain itu,
\begin{equation*}
a^p = g^{-sp} h^p = g^{-r} h^p = h^{-p} h^p = e\text{.}
\end{equation*}
Sekarang kita telah membentuk elemen \(a\) berorde \(p\) sedemikian sehingga \(a \notin \langle g \rangle\text{.}\) Karena \(h\) dipilih sebagai elemen berorde terkecil di antara semua elemen yang tidak berada dalam \(\langle g\rangle\text{,}\) \(|H| = p\text{.}\)
Sekarang kita akan menunjukkan bahwa orde \(gH\) dalam grup hasil bagi \(G/H\) harus sama dengan orde \(g\) dalam \(G\text{.}\) Jika \(|gH| \lt |g| = p^m\text{,}\) maka
\begin{equation*}
H = (gH)^{p^{m-1}} = g^{p^{m-1}} H;
\end{equation*}
dengan demikian, \(g^{p^{m-1}}\) harus berada dalam \(\langle g \rangle \cap H = \{ e \}\text{,}\) yang bertentangan dengan fakta bahwa orde \(g\) adalah \(p^m\text{.}\) Oleh karena itu, \(gH\) harus memiliki orde maksimum dalam \(G/H\text{.}\) Berdasarkan Teorema Korespondensi dan hipotesis induksi,
\begin{equation*}
G/H \cong \langle gH \rangle \times K/H
\end{equation*}
untuk suatu subgrup \(K\) dari \(G\) yang memuat \(H\text{.}\) Kita menyatakan bahwa \(\langle g \rangle \cap K = \{ e \}\text{.}\) Jika \(b \in \langle g \rangle \cap K\text{,}\) maka \(bH \in \langle gH \rangle \cap K/H = \{ H \}\) dan \(b \in \langle g \rangle \cap H = \{ e \}\text{.}\) Dengan demikian, \(G = \langle g \rangle K\) mengakibatkan \(G \cong \langle g \rangle \times K\text{.}\)