Karena \(G\) merupakan grup abelian, terjamin bahwa \(G_i\) merupakan subgrup dari \(G\) untuk \(i = 1, \ldots, k\text{.}\) Karena identitas berorde \(p_i^0 = 1\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(1 \in G_i\text{.}\) Jika \(g \in G_i\) berorde \(p_i^r\text{,}\) maka \(g^{-1}\) juga harus berorde \(p_i^r\text{.}\) Terakhir, jika \(h \in G_i\) berorde \(p_i^s\text{,}\) maka
\begin{equation*}
(gh)^{p_i^t} = g^{p_i^t} h^{p_i^t} = 1 \cdot 1 = 1\text{,}
\end{equation*}
dengan \(t\) nilai maksimum dari \(r\) dan \(s\text{.}\)
Kita harus menunjukkan bahwa
\begin{equation*}
G = G_1 G_2 \cdots G_k
\end{equation*}
dan \(G_i \cap G_j = \{1 \}\) untuk \(i \neq j\text{.}\) Misalkan \(g_1 \in G_1\) berada dalam subgrup yang dibangkitkan oleh \(G_2, G_3, \ldots, G_k\text{.}\) Maka \(g_1 = g_2 g_3 \cdots g_k\) untuk \(g_i \in G_i\text{.}\) Karena \(g_i\) berorde \(p_i^{\alpha_i}\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(g_i^{p^{\alpha_i}} = 1\) untuk \(i = 2, 3, \ldots, k\text{,}\) dan \(g_1^{p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}} = 1\text{.}\) Karena orde \(g_1\) merupakan pangkat dari \(p_1\) dan \(\gcd(p_1, p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}) = 1\text{,}\) harus berlaku bahwa \(g_1 = 1\) dan irisan \(G_1\) dengan setiap subgrup \(G_2, G_3, \ldots, G_k\) hanyalah identitas. Argumen serupa menunjukkan bahwa \(G_i \cap G_j = \{1 \}\) untuk \(i \neq j\text{.}\)
Selanjutnya, kita harus menunjukkan bahwa setiap \(g \in G\) dapat ditulis sebagai hasil kali \(g_1 \cdots g_k\text{,}\) dengan \(g_i \in G_i\text{.}\) Karena orde \(g\) membagi orde \(G\text{,}\) kita mengetahui bahwa
\begin{equation*}
|g| = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \cdots p_k^{\beta_k}
\end{equation*}
untuk suatu bilangan bulat \(\beta_1, \ldots, \beta_k\text{.}\) Dengan menetapkan \(a_i = |g| / p_i^{\beta_i}\text{,}\) bilangan-bilangan \(a_i\) relatif prima; dengan demikian, terdapat bilangan bulat \(b_1, \ldots,
b_k\) sedemikian sehingga \(a_1 b_1 + \cdots + a_k b_k = 1\text{.}\) Akibatnya,
\begin{equation*}
g = g^{a_1 b_1 + \cdots + a_k b_k} = g^{a_1 b_1} \cdots g^{a_k b_k}\text{.}
\end{equation*}
Karena
\begin{equation*}
g^{(a_i b_i ) p_i^{\beta_i}} = g^{b_i |g|} = e\text{,}
\end{equation*}
diperoleh bahwa \(g^{a_i b_i}\) harus berada dalam \(G_{i}\text{.}\) Misalkan \(g_i = g^{a_i b_i}\text{.}\) Maka \(g = g_1 \cdots g_k \in G_1 G_2 \cdots G_k\text{.}\) Oleh karena itu, \(G = G_1 G_2 \cdots G_k\) merupakan hasil kali langsung internal dari subgrup-subgrup.