Kita akan membuktikan lema ini dengan induksi. Jika \(n = 1\text{,}\) tidak ada yang perlu dibuktikan. Sekarang andaikan bahwa lema tersebut benar untuk semua grup berorde \(k\text{,}\) dengan \(k \lt n\text{.}\) Selanjutnya, misalkan \(p\) suatu bilangan prima yang membagi \(n\text{.}\)
Jika
\(G\) tidak memiliki subgrup sejati nontrivial, maka
\(G = \langle a \rangle\text{,}\) dengan
\(a\) sebarang elemen selain identitas. Berdasarkan
Latihan 4.5.39, orde
\(G\) harus prima. Karena
\(p\) membagi
\(n\text{,}\) kita mengetahui bahwa
\(p = n\text{,}\) dan
\(G\) memuat
\(p - 1\) elemen berorde
\(p\text{.}\)
Sekarang misalkan \(G\) memuat subgrup sejati nontrivial \(H\text{.}\) Maka \(1 \lt |H| \lt n\text{.}\) Jika \(p \mid |H|\text{,}\) maka berdasarkan induksi, \(H\) memuat elemen berorde \(p\) sehingga lema terbukti. Misalkan \(p\) tidak membagi orde \(H\text{.}\) Karena \(G\) abelian, \(H\) harus merupakan subgrup normal dari \(G\text{,}\) dan \(|G| = |H| \cdot |G/H|\text{.}\) Akibatnya, \(p\) harus membagi \(|G/H|\text{.}\) Karena \(|G/H| \lt |G| = n\text{,}\) berdasarkan hipotesis induksi kita mengetahui bahwa \(G/H\) memuat elemen \(aH\) berorde \(p\text{.}\) Jadi,
\begin{equation*}
H = (aH)^p = a^pH\text{,}
\end{equation*}
dan \(a^p \in H\text{,}\) tetapi \(a \notin H\text{.}\) Jika \(|H| = r\text{,}\) maka \(p\) dan \(r\) relatif prima, dan terdapat bilangan bulat \(s\) dan \(t\) sedemikian sehingga \(sp + tr = 1\text{.}\) Selanjutnya, orde \(a^p\) harus membagi \(r\text{,}\) dan \((a^p)^r = (a^r)^p = 1\text{.}\)
Kita menyatakan bahwa \(a^r\) berorde \(p\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa \(a^r \neq 1\text{.}\) Andaikan \(a^r = 1\text{.}\) Maka
\begin{align*}
a & = a^{sp + tr}\\
& = a^{sp} a^{tr}\\
& = (a^p)^s (a^r)^t\\
& = (a^p)^s 1\\
& = (a^p)^s\text{.}
\end{align*}
Karena \(a^p \in H\text{,}\) harus berlaku bahwa \(a= (a^p)^s \in H\text{,}\) yang merupakan suatu kontradiksi. Oleh karena itu, \(a^r \neq 1\) merupakan elemen berorde \(p\) dalam \(G\text{.}\)