Misalkan \(M\) adalah ideal maksimal dalam \(R\text{.}\) Jika \(R\) adalah gelanggang komutatif, maka \(R/M\) juga harus merupakan gelanggang komutatif. Jelas bahwa \(1 + M\) bertindak sebagai identitas untuk \(R/M\text{.}\) Kita juga harus menunjukkan bahwa setiap unsur taknol dalam \(R/M\) memiliki invers. Jika \(a + M\) adalah unsur taknol dalam \(R/M\text{,}\) maka \(a \notin M\text{.}\) Definisikan \(I\) sebagai himpunan \(\{ ra + m : r \in R \text{ dan } m \in M \}\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa \(I\) adalah ideal dalam \(R\text{.}\) Himpunan \(I\) tidak kosong karena \(0a+0=0\) berada dalam \(I\text{.}\) Jika \(r_1 a + m_1\) dan \(r_2 a + m_2\) adalah dua unsur dalam \(I\text{,}\) maka
\begin{equation*}
(r_1 a + m_1) - ( r_2 a + m_2) = (r_1 - r_2)a + (m_1 - m_2)
\end{equation*}
berada dalam
\(I\text{.}\) Selain itu, untuk sebarang
\(r \in R\) berlaku
\(rI \subset I\text{;}\) dengan demikian,
\(I\) tertutup terhadap perkalian dan memenuhi syarat-syarat yang diperlukan untuk menjadi ideal. Oleh karena itu, berdasarkan
Proposisi 16.1.10 dan definisi ideal,
\(I\) adalah ideal yang memuat
\(M\) secara sejati. Karena
\(M\) adalah ideal maksimal,
\(I=R\text{;}\) akibatnya, berdasarkan definisi
\(I\text{,}\) harus terdapat
\(m\) dalam
\(M\) dan unsur
\(b\) dalam
\(R\) sedemikian sehingga
\(1=ab+m\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{equation*}
1 + M = ab + M = ba + M = (a+M)(b+M)\text{.}
\end{equation*}
Sebaliknya, andaikan \(M\) adalah ideal dan \(R/M\) merupakan lapangan. Karena \(R/M\) merupakan lapangan, gelanggang tersebut harus memuat sekurang-kurangnya dua unsur: \(0 + M = M\) dan \(1 + M\text{.}\) Jadi, \(M\) adalah ideal sejati dari \(R\text{.}\) Misalkan \(I\) adalah sebarang ideal yang memuat \(M\) secara sejati. Kita perlu menunjukkan bahwa \(I = R\text{.}\) Pilih \(a\) dalam \(I\text{,}\) tetapi tidak dalam \(M\text{.}\) Karena \(a+ M\) adalah unsur taknol dalam suatu lapangan, terdapat unsur \(b +M\) dalam \(R/M\) sedemikian sehingga \((a+M)(b+M) = ab + M = 1+M\text{.}\) Akibatnya, terdapat unsur \(m \in M\) sedemikian sehingga \(ab + m = 1\) dan \(1\) berada dalam \(I\text{.}\) Oleh karena itu, \(r1 =r \in I\) untuk semua \(r \in R\text{.}\) Akibatnya, \(I = R\text{.}\)