Persamaan \(x \equiv a \pmod{m}\) mempunyai solusi karena \(a + km\) memenuhi persamaan tersebut untuk setiap \(k \in {\mathbb Z}\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat \(k_1\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
a + k_1 m \equiv b \pmod{n}\text{.}
\end{equation*}
Hal ini ekuivalen dengan menunjukkan bahwa
\begin{equation*}
k_1 m \equiv (b-a) \pmod{n}
\end{equation*}
mempunyai solusi untuk \(k_1\text{.}\) Karena \(m\) dan \(n\) relatif prima, terdapat bilangan bulat \(s\) dan \(t\) sedemikian sehingga \(ms + nt = 1\text{.}\) Akibatnya,
\begin{equation*}
(b-a) ms = (b-a) -(b-a) nt\text{,}
\end{equation*}
atau
\begin{equation*}
[(b-a)s]m \equiv (b-a) \pmod{n}\text{.}
\end{equation*}
Sekarang ambil \(k_1 = (b-a)s\text{.}\)
Untuk menunjukkan bahwa sembarang dua solusi kongruen modulo \(mn\text{,}\) misalkan \(c_1\) dan \(c_2\) adalah dua solusi sistem tersebut. Artinya,
\begin{align*}
c_i & \equiv a \pmod{m}\\
c_i & \equiv b \pmod{n}
\end{align*}
untuk \(i = 1, 2\text{.}\) Maka
\begin{align*}
c_2 & \equiv c_1 \pmod{m}\\
c_2 & \equiv c_1 \pmod{n}\text{.}
\end{align*}
Oleh karena itu, \(m\) maupun \(n\) membagi \(c_1 - c_2\text{.}\) Akibatnya, \(c_2 \equiv c_1 \pmod{mn}\text{.}\)