Misalkan \(p(x)\) membangkitkan ideal maksimal dari \(F[x]\text{.}\) Maka \(\langle p(x) \rangle\) juga merupakan ideal prima dari \(F[x]\text{.}\) Karena ideal maksimal harus termuat secara sejati di dalam \(F[x]\text{,}\) \(p(x)\) tidak mungkin merupakan polinomial konstan. Asumsikan bahwa \(p(x)\) terfaktor menjadi dua polinomial berderajat lebih kecil, katakanlah \(p(x) = f(x) g(x)\text{.}\) Karena \(\langle p(x) \rangle\) merupakan ideal prima, salah satu faktor ini, katakanlah \(f(x)\text{,}\) berada di \(\langle p(x) \rangle\) dan karenanya merupakan kelipatan \(p(x)\text{.}\) Namun, hal ini akan mengakibatkan \(\langle p(x) \rangle \subset \langle f(x) \rangle\text{,}\) yang mustahil karena \(\langle p(x) \rangle\) maksimal.

Sebaliknya, misalkan \(p(x)\) tak tereduksi atas \(F[x]\text{.}\) Misalkan \(I\) suatu ideal di \(F[x]\) yang memuat \(\langle p(x) \rangle\text{.}\) Berdasarkan Teorema 17.3.10, \(I\) merupakan ideal utama; jadi, \(I = \langle f(x) \rangle\) untuk suatu \(f(x) \in F[x]\text{.}\) Karena \(p(x) \in I\text{,}\) haruslah \(p(x) = f(x) g(x)\) untuk suatu \(g(x) \in F[x]\text{.}\) Akan tetapi, \(p(x)\) tak tereduksi; jadi, \(f(x)\) atau \(g(x)\) merupakan polinomial konstan. Jika \(f(x)\) konstan, maka \(I = F[x]\) dan pembuktian selesai. Jika \(g(x)\) konstan, maka \(f(x)\) merupakan kelipatan konstan dari \(I\) dan \(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\) Dengan demikian, tidak ada ideal sejati dari \(F[x]\) yang secara sejati memuat \(\langle p(x)\rangle\text{.}\)