Teorema 17.3.4. Lema Gauss.

Misalkan \(p(x) \in {\mathbb Z}[x]\) polinomial monik sedemikian sehingga \(p(x)\) terfaktor sebagai hasil kali dua polinomial \(\alpha(x)\) dan \(\beta(x)\) di \({\mathbb Q}[x]\text{,}\) dengan derajat \(\alpha(x)\) dan \(\beta(x)\) keduanya kurang dari derajat \(p(x)\text{.}\) Maka \(p(x) = a(x) b(x)\text{,}\) dengan \(a(x)\) dan \(b(x)\) polinomial monik di \({\mathbb Z}[x]\) yang memenuhi \(\deg \alpha(x) = \deg a(x)\) dan \(\deg \beta(x) = \deg b(x)\text{.}\)

Bukti.
Berdasarkan Lema 17.3.3, kita dapat mengasumsikan bahwa
\begin{align*} \alpha(x) & = \frac{c_1}{d_1} (a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m ) = \frac{c_1}{d_1} \alpha_1(x)\\ \beta(x) & = \frac{c_2}{d_2} (b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n) = \frac{c_2}{d_2} \beta_1(x)\text{,} \end{align*}
dengan setiap \(a_i\) relatif prima secara bersama dan setiap \(b_i\) relatif prima secara bersama. Akibatnya,
\begin{equation*} p(x) = \alpha(x) \beta(x) = \frac{c_1 c_2}{d_1 d_2} \alpha_1(x) \beta_1(x) = \frac{c}{d} \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{,} \end{equation*}
dengan \(c/d\) hasil kali \(c_1/d_1\) dan \(c_2/d_2\) yang dinyatakan dalam bentuk paling sederhana. Jadi, \(d p(x) = c \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{.}\)
Jika \(d = 1\text{,}\) maka \(c a_m b_n = 1\) karena \(p(x)\) polinomial monik. Jadi, \(c=1\) atau \(c = -1\text{.}\) Jika \(c = 1\text{,}\) maka \(a_m = b_n = 1\) atau \(a_m = b_n = -1\text{.}\) Dalam kasus pertama, \(p(x) = \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{,}\) dengan \(\alpha_1(x)\) dan \(\beta_1(x)\) polinomial monik yang memenuhi \(\deg \alpha(x) = \deg \alpha_1(x)\) dan \(\deg \beta(x) = \deg \beta_1(x)\text{.}\) Dalam kasus kedua, \(a(x) = -\alpha_1(x)\) dan \(b(x) = -\beta_1(x)\) merupakan polinomial monik yang tepat karena \(p(x) = (-\alpha_1(x))(- \beta_1(x)) = a(x) b(x)\text{.}\) Kasus \(c = -1\) dapat ditangani dengan cara serupa.
Sekarang misalkan \(d \neq 1\text{.}\) Karena \(\gcd(c, d) = 1\text{,}\) terdapat bilangan prima \(p\) sedemikian sehingga \(p \mid d\) dan \(p \notdivide c\text{.}\) Selain itu, karena koefisien-koefisien \(\alpha_1(x)\) relatif prima secara bersama, terdapat koefisien \(a_i\) sedemikian sehingga \(p \notdivide a_i\text{.}\) Demikian pula, terdapat koefisien \(b_j\) dari \(\beta_1(x)\) sedemikian sehingga \(p \notdivide b_j\text{.}\) Misalkan \(\alpha_1'(x)\) dan \(\beta_1'(x)\) adalah polinomial di \({\mathbb Z}_p[x]\) yang diperoleh dengan mereduksi koefisien \(\alpha_1(x)\) dan \(\beta_1(x)\) modulo \(p\text{.}\) Karena \(p \mid d\text{,}\) \(\alpha_1'(x) \beta_1'(x) = 0\) di \({\mathbb Z}_p[x]\text{.}\) Namun, hal ini mustahil karena \(\alpha_1'(x)\) maupun \(\beta_1'(x)\) bukan polinomial nol dan \({\mathbb Z}_p[x]\) merupakan daerah integral. Oleh karena itu, \(d=1\) dan teorema terbukti.
Dalam Konteks