Teorema 5.1.15.

Jika suatu permutasi \(\sigma\) dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah genap transposisi, maka setiap hasil kali transposisi lain yang sama dengan \(\sigma\) juga harus memuat sejumlah genap transposisi. Demikian pula, jika \(\sigma\) dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah ganjil transposisi, maka setiap hasil kali transposisi lain yang sama dengan \(\sigma\) juga harus memuat sejumlah ganjil transposisi.

Bukti.
Andaikan
\begin{equation*} \sigma = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_m = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_n\text{,} \end{equation*}
dengan \(m\) genap. Kita harus menunjukkan bahwa \(n\) juga merupakan bilangan genap. Invers dari \(\sigma\) adalah \(\sigma_m \cdots \sigma_1\text{.}\) Karena
\begin{equation*} \identity = \sigma \sigma_m \cdots \sigma_1 = \tau_1 \cdots \tau_n \sigma_m \cdots \sigma_1\text{,} \end{equation*}
\(n\) harus genap berdasarkan Lema 5.1.14. Bukti untuk kasus ketika \(\sigma\) dapat dinyatakan sebagai sejumlah ganjil transposisi diserahkan sebagai latihan.
Dalam Konteks