Teorema 5.2.3.

Grup \(D_n\text{,}\) \(n \geq 3\text{,}\) terdiri atas semua hasil kali dua elemen \(r\) dan \(s\text{,}\) dengan \(r\) berorde \(n\) dan \(s\) berorde \(2\text{,}\) serta kedua elemen ini memenuhi relasi \(srs = r^{-1}\text{.}\)

Bukti.
Gerak yang mungkin bagi segi-\(n\) beraturan berupa pencerminan atau rotasi (Gambar 5.2.4). Terdapat tepat \(n\) rotasi yang mungkin:
\begin{equation*} \identity, \frac{360^{\circ} }{n}, 2 \cdot \frac{360^{\circ} }{n}, \ldots, (n-1) \cdot \frac{360^{\circ} }{n}\text{.} \end{equation*}
Kita akan melambangkan rotasi \(360^{\circ} /n\) dengan \(r\text{.}\) Rotasi \(r\) membangkitkan semua rotasi lainnya. Yaitu,
\begin{equation*} r^k = k \cdot \frac{360^{\circ} }{n}\text{.} \end{equation*}
Rotasi dan pencerminan segi delapan. Segi delapan atas (1 (atas), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) dirotasi menjadi segi delapan (2 (atas), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1), sedangkan segi delapan bawah (1 (atas), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) dicerminkan terhadap sumbu vertikal menjadi (1 (atas), 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).
Gambar 5.2.4. Rotasi dan pencerminan segi-\(n\) beraturan
Beri label pada \(n\) pencerminan sebagai \(s_1, s_2, \ldots, s_n\text{,}\) dengan \(s_k\) merupakan pencerminan yang mempertahankan titik sudut \(k\text{.}\) Terdapat dua kasus pencerminan, bergantung pada apakah \(n\) genap atau ganjil. Jika jumlah titik sudut genap, maka dua titik sudut dipertahankan oleh suatu pencerminan, dan \(s_1 = s_{n/2 + 1}, s_2 = s_{n/2 + 2}, \ldots, s_{n/2} = s_n\text{.}\) Jika jumlah titik sudut ganjil, maka hanya satu titik sudut yang dipertahankan oleh suatu pencerminan dan \(s_1, s_2, \ldots, s_n\) semuanya berbeda (Gambar 5.2.5). Dalam kedua kasus, orde setiap \(s_k\) adalah dua. Misalkan \(s = s_1\text{.}\) Maka \(s^2 = 1\) dan \(r^n = 1\text{.}\) Karena setiap gerak tegar \(t\) dari segi-\(n\) menggantikan titik sudut pertama dengan titik sudut \(k\text{,}\) titik sudut kedua harus digantikan oleh \(k+1\) atau \(k-1\text{.}\) Jika titik sudut kedua digantikan oleh \(k+1\text{,}\) maka \(t = r^k\text{.}\) Jika titik sudut kedua digantikan oleh \(k-1\text{,}\) maka \(t = r^k s\text{.}\)
 1 
Karena kita berada dalam grup abstrak, kita akan menggunakan konvensi bahwa elemen grup dikalikan dari kiri ke kanan.
Jadi, \(r\) dan \(s\) membangkitkan \(D_n\text{.}\) Artinya, \(D_n\) terdiri atas semua hasil kali hingga dari \(r\) dan \(s\text{,}\)
\begin{equation*} D_n = \{1, r, r^2, \ldots, r^{n-1}, s, rs, r^2 s, \ldots, r^{n-1} s\}\text{.} \end{equation*}
Bukti bahwa \(srs = r^{-1}\) diserahkan sebagai latihan.
Segi enam atas (1 (atas), 2, 3, 4, 5, 6) dicerminkan menjadi (1 (atas), 6, 5, 4, 3, 2). Segi lima bawah (1 (atas), 2, 3, 4, 5) dicerminkan menjadi (1 (atas), 5, 4, 3, 2).
Gambar 5.2.5. Jenis pencerminan segi-\(n\) beraturan
Dalam Konteks