Latihan 4.

Subbagian Grup Gerak Kubus mendeskripsikan \(24\) simetri kubus sebagai subgrup dari grup simetris \(S_8\) yang dibangkitkan oleh tiga putaran seperempat. Jawablah pertanyaan berikut mengenai grup simetri ini.
  1. Dari senarai elemen grup, dapatkah Anda menemukan sepuluh rotasi terhadap sumbu? (Petunjuk: identitas mudah ditemukan; sembilan rotasi lainnya tidak pernah membawa suatu simbol ke dirinya sendiri.)
  2. Dapatkah Anda mengenali enam simetri yang merupakan transposisi diagonal? (Petunjuk: [g for g in cube if g.order() == 2] merupakan penyaring awal yang baik.)
  3. Verifikasikan bahwa sembarang dua putaran seperempat (above, front, right) cukup untuk membangkitkan seluruh grup. Bagaimana Anda mengetahui bahwa setiap pasangan membangkitkan seluruh grup?
  4. Dapatkah Anda menyatakan salah satu transposisi diagonal sebagai hasil kali putaran seperempat? Masalah ini terkenal sulit, terutama bagi perangkat lunak. Masalah tersebut dikenal sebagai “masalah kata.”
  5. Nomori keenam sisi kubus dengan bilangan \(1\) hingga \(6\) (dengan cara apa pun yang Anda sukai). Sekarang tinjau tiga simetri yang sama seperti sebelumnya (putaran seperempat terhadap sumbu yang menghubungkan sisi-sisi berhadapan), tetapi kali ini pandanglah sebagai permutasi keenam sisi. Dengan cara ini, kita membentuk setiap simetri sebagai elemen \(S_6\text{.}\) Verifikasikan bahwa subgrup yang dibangkitkan oleh simetri-simetri ini merupakan seluruh grup simetri kubus. Sekali lagi, alih-alih menggunakan tiga pembangkit, cobalah gunakan dua saja.
Dalam Konteks