(1) \(\Rightarrow\) (2). Karena \(N\) normal dalam \(G\text{,}\) \(gN = Ng\) untuk semua \(g \in G\text{.}\) Oleh karena itu, untuk suatu \(g \in G\) dan \(n \in N\text{,}\) terdapat \(n'\) dalam \(N\) sedemikian sehingga \(g n = n' g\text{.}\) Jadi, \(gng^{-1} = n' \in N\text{,}\) atau \(gNg^{-1} \subset N\text{.}\)

(2) \(\Rightarrow\) (3). Misalkan \(g \in G\text{.}\) Karena \(gNg^{-1} \subset N\text{,}\) kita hanya perlu menunjukkan \(N \subset gNg^{-1}\text{.}\) Untuk \(n \in N\text{,}\) \(g^{-1}ng=g^{-1}n(g^{-1})^{-1} \in N\text{.}\) Dengan demikian, \(g^{-1}ng = n'\) untuk suatu \(n' \in N\text{.}\) Oleh karena itu, \(n = g n' g^{-1}\) berada dalam \(g N g^{-1}\text{.}\)

(3) \(\Rightarrow\) (1). Andaikan \(gNg^{-1} = N\) untuk semua \(g \in G\text{.}\) Maka, untuk setiap \(n \in N\text{,}\) terdapat \(n' \in N\) sedemikian sehingga \(gng^{-1} = n'\text{.}\) Akibatnya, \(gn = n' g\text{,}\) atau \(gN \subset Ng\text{.}\) Demikian pula, \(Ng \subset gN\text{.}\)