Misalkan \(\sigma\) suatu elemen sembarang dalam subgrup normal \(N\text{.}\) Terdapat beberapa kemungkinan struktur siklus bagi \(\sigma\text{.}\)
-
\(\sigma\) merupakan siklus-\(3\text{.}\)
-
\(\sigma\) merupakan hasil kali siklus-siklus saling lepas, \(\sigma = \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r) \in N\text{,}\) dengan \(r \gt 3\text{.}\)
-
\(\sigma\) merupakan hasil kali siklus-siklus saling lepas, \(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)(a_4, a_5, a_6)\text{.}\)
-
\(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)\text{,}\) dengan \(\tau\) merupakan hasil kali siklus-2 yang saling lepas.
-
\(\sigma = \tau (a_1, a_2) (a_3, a_4)\text{,}\) dengan \(\tau\) merupakan hasil kali sejumlah genap siklus-2 yang saling lepas.
Jika \(\sigma\) merupakan siklus-\(3\text{,}\) pembuktian selesai. Jika \(N\) memuat suatu hasil kali siklus-siklus saling lepas, \(\sigma\text{,}\) dan setidaknya satu siklus tersebut panjangnya lebih besar daripada 3, misalkan \(\sigma = \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r)\text{,}\) maka
\begin{equation*}
(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}
\end{equation*}
berada dalam \(N\) karena \(N\) normal; akibatnya,
\begin{equation*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}
\end{equation*}
juga berada dalam \(N\text{.}\) Karena
\begin{align*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} & = \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\\
&\quad {}\cdot \sigma(a_1, a_3, a_2)\\
& = (a_1, a_2, \ldots, a_r)^{-1}\tau^{-1}(a_1, a_2, a_3)\\
&\quad {}\cdot \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r)(a_1, a_3, a_2)\\
& = (a_1, a_r, a_{r-1}, \ldots, a_2 )(a_1, a_2, a_3)\\
&\quad {}\cdot (a_1, a_2, \ldots, a_r)(a_1, a_3, a_2)\\
& = (a_1, a_3, a_r)\text{,}
\end{align*}
\(N\) harus memuat suatu siklus-\(3\text{;}\) oleh karena itu, \(N = A_n\text{.}\)
Sekarang andaikan \(N\) memuat suatu hasil kali saling lepas berbentuk
\begin{equation*}
\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)(a_4, a_5, a_6)\text{.}
\end{equation*}
Maka
\begin{equation*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_4)\sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} \in N
\end{equation*}
karena
\begin{equation*}
(a_1, a_2, a_4)\sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} \in N\text{.}
\end{equation*}
Jadi,
\begin{align*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_4) \sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} & = [ \tau (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6) ]^{-1}\\
&\quad {}\cdot (a_1, a_2, a_4) \tau (a_1, a_2, a_3)\\
&\quad {}\cdot (a_4, a_5, a_6) (a_1, a_2, a_4)^{-1}\\
& = (a_4, a_6, a_5) (a_1, a_3, a_2)\\
&\quad {}\cdot \tau^{-1}(a_1, a_2, a_4) \tau (a_1, a_2, a_3)\\
&\quad {}\cdot (a_4, a_5, a_6) (a_1, a_4, a_2)\\
& = (a_4, a_6, a_5)(a_1, a_3, a_2) (a_1, a_2, a_4)\\
&\quad {}\cdot (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6)\\
&\quad {}\cdot (a_1, a_4, a_2)\\
& = (a_1, a_4, a_2, a_6, a_3)\text{.}
\end{align*}
Dengan demikian, \(N\) memuat siklus saling lepas yang panjangnya lebih besar daripada \(3\text{,}\) sehingga kita dapat menerapkan kasus sebelumnya.
Andaikan \(N\) memuat suatu hasil kali saling lepas berbentuk \(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)\text{,}\) dengan \(\tau\) merupakan hasil kali siklus-\(2\) yang saling lepas. Karena \(\sigma \in N\text{,}\) maka \(\sigma^2 \in N\text{,}\) dan
\begin{align*}
\sigma^2 & = \tau(a_1, a_2, a_3)\tau(a_1, a_2, a_3)\\
& =(a_1, a_3, a_2)\text{.}
\end{align*}
Jadi, \(N\) memuat suatu siklus-\(3\text{.}\)
Satu-satunya kemungkinan kasus yang tersisa adalah hasil kali saling lepas berbentuk
\begin{equation*}
\sigma = \tau (a_1, a_2) (a_3, a_4)\text{,}
\end{equation*}
dengan \(\tau\) merupakan hasil kali sejumlah genap siklus-\(2\) yang saling lepas. Akan tetapi,
\begin{equation*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}
\end{equation*}
berada dalam \(N\) karena \((a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}\) berada dalam \(N\text{;}\) sehingga
\begin{align*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} & = \tau^{-1} (a_1, a_2) (a_3, a_4)\\
&\quad {}\cdot (a_1, a_2, a_3) \tau (a_1, a_2)\\
&\quad {}\cdot (a_3, a_4)(a_1, a_2, a_3)^{-1}\\
& = (a_1, a_3)(a_2, a_4)\text{.}
\end{align*}
Karena \(n \geq 5\text{,}\) kita dapat menemukan \(b \in \{1, 2, \ldots,
n \}\) sedemikian sehingga \(b \neq a_1, a_2, a_3, a_4\text{.}\) Misalkan \(\mu = (a_1, a_3, b)\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
\mu^{-1} (a_1, a_3)(a_2, a_4) \mu (a_1, a_3)(a_2, a_4) \in N
\end{equation*}
dan
\begin{align*}
\mu^{-1} (a_1, a_3)(a_2, a_4) \mu (a_1, a_3)(a_2, a_4) & = (a_1, b, a_3)\\
&\quad {}\cdot (a_1, a_3)(a_2, a_4)\\
&\quad {}\cdot (a_1, a_3, b)(a_1, a_3)(a_2, a_4)\\
& = (a_1, a_3, b)\text{.}
\end{align*}
Oleh karena itu, \(N\) memuat suatu siklus-\(3\text{.}\) Dengan demikian, pembuktian lema ini selesai.