Pertama-tama kita akan menunjukkan bahwa \(A_n\) dibangkitkan oleh siklus-\(3\) yang berbentuk khusus \((i,j,k)\text{,}\) dengan \(i\) dan \(j\) tetap di dalam \(\{ 1, 2, \ldots,
n \}\text{,}\) sedangkan \(k\) bervariasi. Setiap siklus-\(3\) merupakan hasil kali siklus-\(3\) berbentuk demikian, sebab
\begin{align*}
(i, a, j) & = (i, j, a)^2\\
(i, a, b) & = (i, j, b) (i, j, a)^2\\
(j, a, b) & = (i, j, b)^2 (i, j, a)\\
(a, b, c) & = (i, j, a)^2 (i, j, c) (i, j, b)^2 (i, j, a)\text{.}
\end{align*}
Sekarang andaikan \(N\) merupakan subgrup normal taktrivial dari \(A_n\) untuk \(n \geq 3\) dan \(N\) memuat siklus-\(3\) berbentuk \((i, j, a)\text{.}\) Dengan menggunakan kenormalan \(N\text{,}\) kita memperoleh bahwa
\begin{equation*}
[(i, j)(a, k)](i, j, a)^2 [(i, j)(a, k)]^{-1} = (i, j, k)
\end{equation*}
berada dalam
\(N\text{.}\) Jadi,
\(N\) harus memuat semua siklus-
\(3\) \((i, j, k)\) untuk
\(1 \leq k \leq n\text{.}\) Berdasarkan
Lema 10.2.1, siklus-
\(3\) tersebut membangkitkan
\(A_n\text{;}\) oleh karena itu,
\(N = A_n\text{.}\)