Contoh 12.1.10.
Mari kita periksa grup ortogonal pada \({\mathbb R}^2\) dengan lebih saksama. Suatu elemen \(A \in O(2)\) ditentukan oleh tindakannya pada \({\mathbf e}_1 = (1, 0)^\transpose\) dan \({\mathbf e}_2 = (0, 1)^\transpose\text{.}\) Jika \(A{\mathbf e}_1 = (a,b)^\transpose\text{,}\) maka \(a^2 + b^2 = 1\text{,}\) karena panjang suatu vektor harus dipertahankan ketika vektor tersebut dikalikan dengan \(A\text{.}\) Karena perkalian dengan elemen \(O(2)\) mempertahankan panjang dan keortogonalan, \(A{\mathbf e}_2 = \pm(-b, a)^\transpose\text{.}\) Jika kita memilih \(A{\mathbf e}_2 = (-b, a)^\transpose\text{,}\) maka
\begin{equation*}
A
=
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix},
\end{equation*}
dengan \(0 \leq \theta \lt 2 \pi\text{.}\) Matriks \(A\) memutar suatu vektor dalam \(\mathbb R^2\) berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal sejauh sudut \(\theta\) (Gambar 12.1.9).
Jika kita memilih \(A{\mathbf e}_2 = (b, -a)^\transpose\text{,}\) maka kita memperoleh matriks
\begin{equation*}
B
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & -a
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & -\cos \theta
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Di sini, \(\det B = -1\) dan
\begin{equation*}
B^2
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Pencerminan terhadap sumbu horizontal diberikan oleh matriks
\begin{equation*}
C
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
dan \(B = AC\) (lihat Gambar 12.1.9). Jadi, pencerminan terhadap garis \(\ell\) tidak lain adalah pencerminan terhadap sumbu horizontal yang diikuti oleh rotasi.