Lema 19.2.8.

Misalkan \(b \in B\) dan \(a_1, \ldots, a_n\) merupakan atom-atom dari \(B\) sedemikian sehingga \(a_i \preceq b\text{.}\) Maka \(b = a_1 \vee \cdots \vee a_n\text{.}\) Selanjutnya, jika \(a, a_1, \ldots, a_n\) merupakan atom-atom dari \(B\) sedemikian sehingga \(a \preceq b\text{,}\) \(a_i \preceq b\text{,}\) dan \(b = a \vee a_1 \vee \cdots \vee a_n\text{,}\) maka \(a = a_i\) untuk suatu \(i = 1, \ldots, n\text{.}\)

Bukti.
Ambil \(b_1 = a_1 \vee \cdots \vee a_n\text{.}\) Karena \(a_i \preceq b\) untuk setiap \(i\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(b_1 \preceq b\text{.}\) Jika kita dapat menunjukkan bahwa \(b \preceq b_1\text{,}\) maka lema ini benar berdasarkan antisimetrisitas. Andaikan \(b \not\preceq b_1\text{.}\) Maka terdapat atom \(a\) sedemikian sehingga \(a \preceq b\) dan \(a \not\preceq b_1\text{.}\) Karena \(a\) merupakan atom dan \(a \preceq b\text{,}\) kita dapat menyimpulkan bahwa \(a = a_i\) untuk suatu \(a_i\text{.}\) Namun, hal ini mustahil karena \(a \preceq b_1\text{.}\) Oleh karena itu, \(b \preceq b_1\text{.}\)
Sekarang misalkan \(b = a_1 \vee \cdots \vee a_n\text{.}\) Jika \(a\) merupakan atom yang lebih kecil dari \(b\text{,}\)
\begin{equation*} a = a \wedge b = a \wedge( a_1 \vee \cdots \vee a_n ) = (a \wedge a_1) \vee \cdots \vee ( a \wedge a_n )\text{.} \end{equation*}
Akan tetapi, setiap suku bernilai \(O\) atau \(a\text{,}\) dengan \(a \wedge a_i\) muncul hanya untuk satu \(a_i\text{.}\) Jadi, berdasarkan Lema 19.2.5, \(a = a_i\) untuk suatu \(i\text{.}\)
Dalam Konteks