Pertama-tama kita akan menunjukkan bahwa jika \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n \cong {\mathbb Z}_{mn}\text{,}\) maka \(\gcd(m, n) = 1\text{.}\) Kita akan membuktikan kontraposisinya; yaitu, kita akan menunjukkan bahwa jika \(\gcd(m, n) = d \gt 1\text{,}\) maka \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) tidak mungkin siklik. Perhatikan bahwa \(mn/d\) habis dibagi oleh \(m\) maupun \(n\text{;}\) dengan demikian, untuk setiap elemen \((a,b) \in {\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{,}\)
\begin{equation*}
\underbrace{(a,b) + (a,b)+ \cdots + (a,b)}_{mn/d \; \text{kali}} = (0, 0)\text{.}
\end{equation*}
Oleh karena itu, tidak ada \((a, b)\) yang dapat membangkitkan seluruh \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{.}\)
Kebalikannya mengikuti langsung dari
Teorema 9.2.5 karena
\(\lcm(m,n) = mn\) jika dan hanya jika
\(\gcd(m,n)=1\text{.}\)