Karena \(G\) merupakan hasil kali langsung internal, kita dapat menulis setiap elemen \(g \in G\) sebagai \(g =hk\) untuk suatu \(h \in H\) dan suatu \(k \in K\text{.}\) Definisikan pemetaan \(\phi : G \rightarrow H \times K\) dengan \(\phi(g) = (h,k)\text{.}\)
Masalah pertama yang harus kita hadapi adalah menunjukkan bahwa \(\phi\) merupakan pemetaan yang terdefinisi dengan baik; yaitu, kita harus menunjukkan bahwa \(h\) dan \(k\) ditentukan secara tunggal oleh \(g\text{.}\) Andaikan \(g = hk=h'k'\text{.}\) Maka \(h^{-1} h'= k (k')^{-1}\) berada dalam \(H\) maupun \(K\text{,}\) sehingga elemen tersebut harus merupakan identitas. Oleh karena itu, \(h = h'\) dan \(k = k'\text{,}\) yang membuktikan bahwa \(\phi\) memang terdefinisi dengan baik.
Untuk menunjukkan bahwa \(\phi\) mempertahankan operasi grup, misalkan \(g_1 = h_1 k_1\) dan \(g_2 = h_2 k_2\text{,}\) lalu perhatikan bahwa
\begin{align*}
\phi( g_1 g_2 ) & = \phi( h_1 k_1 h_2 k_2 )\\
& = \phi(h_1 h_2 k_1 k_2)\\
& = (h_1 h_2, k_1 k_2)\\
& = (h_1, k_1)( h_2, k_2)\\
& = \phi( g_1 ) \phi( g_2 )\text{.}
\end{align*}
Pembuktian bahwa \(\phi\) injektif dan surjektif diserahkan sebagai latihan.